Question

Выразите логарифм 32 по основанию 126 через х и у, если log₁₂₆3= x и log₁₂₆7= у.

Answer 1

Ответ:   5-10*x-5y

Объяснение:

Первый способ : (не рациональный)

1) log(3; 126) = log (3; 3^2 *7 * 2) = log(3; 3^2) +log(3; 7) +log(3; 2) =

=  2+log(3; 7) +log(3; 2) = 1/x

2) log(7; 126) = log(7; 3^2) +log(7; 7) +log(7; 2) = 2*log(7; 3) +1 + log(7; 2) = 1/y

log(126; 32) = log(126; 2^5) = 5* log(126; 2) = 5/log(2; 126) ) =

= 5/( log(2; 3^2) +log(2; 7) +log(2; 2) ) = 5/(  2*log(2; 3) +log(2; 7) +1)

log(3; 7) = log(126; 3)/log(126; 7) = x/y

log(7; 3) =y/x

Из равенства 1 следует :

log(2; 3) = 1/( 1/x - 2 -x/y)  = x*y/( y -2*x*y -x^2)  

Из равенства 2 следует :

log(2; 7) = 1/( 1/y - 2*y/x -1) = x*y/( x -2*y^2 -x*y)

log(126; 32) = 1/( 2*x*y/( y -2*x*y -x^2) + x*y/( x -2*y^2 -x*y) +1 )

Второй способ : (рациональный)

log(126; 126) = log(126; 3^2 *7 *2) = log(126; 3^2)+log(126; 7)+log(126; 2) = 2*log(126; 3) +log(126; 7) +log(126; 2) =  1

log(126; 2) = 1-2*x-y

5*log(126; 2) =5-10*x-5*y

log(126; 32) = 5-10*x-5*y

Но значит ли это, что первый ответ неправильный?

Не совсем так.

Дело в том, что если решить, например, такую систему уравнений:

1-2*x-y = 1/( 2*x*y/( y -2*x*y -x^2) + x*y/( x -2*y^2 -x*y) +1 )

126^x +126^y = 10

То одним из решений этой системы будет :

x= log(126; 3)

y=log(126; 7)

Answer 2

Дано: log₁₂₆3=x, log₁₂₆7=y

Найти: log₁₂₆32.

log₁₂₆32=log₁₂₆2⁵= 5log₁₂₆2.

А ещё есть такое свойство логарифма, что log₁₂₆126=1.

log₁₂₆126=log₁₂₆(2×3×3×7)= log₁₂₆2+ log₁₂₆3+ log₁₂₆3+log₁₂₆7= log₁₂₆2+2log₁₂₆3+log₁₂₆7.

Значит, log₁₂₆2+2log₁₂₆3+log₁₂₆=1.

log₁₂₆2= 1 - 2log₁₂₆3 - log₁₂₆7= 1 - 2х - у.

Ну и теперь log₁₂₆32=5(1 - 2х - у)= 5 - 10х - 5у.

Ответ: 5 - 10х - 5у.

Так ведь тоже можно?

Answer 3

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов:

1. Правило изменения основания логарифма: Если logₐb = x, то logₐc = x * log_b(c).

2. Правило логарифма произведения: logₐ(b * c) = logₐb + logₐc.

3. Правило логарифма деления: logₐ(b / c) = logₐb - logₐc.

Исходя из данной задачи, у нас есть:

log₁₂₆3 = x log₁₂₆7 = у

Мы хотим найти log₁₂₆32. Мы можем разложить 32 на 3 * 7:

32 = 3 * 7

Теперь, используя правило логарифма произведения, мы можем записать:

log₁₂₆32 = log₁₂₆(3 * 7)

По правилу изменения основания логарифма: log₁₂₆(3 * 7) = log₃(3 * 7) * log₁₂₆3

Теперь мы можем воспользоваться данной информацией и подставить значения x и y:

log₁₂₆32 = log₃(3 * 7) * x log₁₂₆32 = (log₃3 + log₃7) * x log₁₂₆32 = (1 + y) * x

Таким образом, выражение для log₁₂₆32 через х и у равно (1 + y) * x.