Question

Числитель и знаменатель некоторой дроби — натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Есличислитель увеличить на 6 а знаменатель на 4, то дробьвозрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на8, а знаменатель на 1, то дробы увеличивается более чемвтрое Найдите эту дробь​

Answer 1

Ответ:

3/7

Объяснение:

x - числитель.

Начальная дробь: x/(x+4), где x - натуральное число.

Система неравенств:

(x+6)/(x+4+4)<(2x)/(x+4); (x+6)/(x+8)<(2x)/(x+4)

(x+8)/(x+4+1)>(3x)/(x+4); (x+8)/(x+5)>(3x)/(x+4)

(x+6)(x+4)<2x(x+8)

x²+4x+6x+24<2x²+16x

2x²+16x-x²-10x-24>0

x²+6x-24>0

Допустим: x²+6x-24=0; D=36+96=132

x₁=(-6-2√33)/2=-3-√33 - этот корень не подходит для уравнения, так как x -

натуральное число.

x₂=(-6+2√33)/2=√33 -3 - этот корень также не подходит для уравнения, так как x -

натуральное число.

При 0≤x<√33 -3: (2+6)/(2+8)<(2·2)/(2+4); 24/30>20/30 - неравенство не

выполняется.

При x>√33 -3: (3+6)/(3+8)<(2·3)/(3+4); 21/28<24/28 - неравенство выполняется.

Следовательно, для данного 1-го неравенства x∈[3; +∞).

(x+8)(x+4)>(3x)(x+5)

x²+4x+8x+32>3x²+15x

3x²+15x-x²-12x-32<0

2x²+3x-32<0

Допустим: 2x²+3x-32=0; D=9+256=265

x₁=(-3-√265)/4 - этот корень не подходит для уравнения, так как x - натуральное

число.

x₂=(√265 -3)/4 - этот корень также не подходит для уравнения, так как x -

натуральное число.

При x>(√256 -3)/4: (4+8)/(4+5)>(3·4)/(4+4); 8/6<9/6 - неравенство не выполняется.

Отсюда следует, что x=3 - это числитель.

Знаменатель: 3+4=7.

Дробь: 3/7.

Answer 2

Перепишем языком математики

Дробь имеет вид n/(n+4)

Вторая дробь (n+6)/(n+8) менее чем в два раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+6}{n+8} / \frac{n}{n+4} < 2\\(n+6)(n+4) < 2n(n+8)\\n^2+6n-24 > 0$

Третья дробь (n+8)/(n+5) более чем в три раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+8}{n+5}/\frac{n}{n+4} > 3\\(n+8)(n+4) > 3n(n+5)\\2n^2+3n-32$

Решение первого неравенства можно записать в виде (помня что n больше нуля и вообще натуральное)

$n>-3+\sqrt{33}\approx 2.74\\n\geq3$

Решение второго неравенства можно записать в виде

$n$

Остается единственный вариант n=3 и дробь это 3/7

Answer 3

Обозначим числитель дроби как $x$, а знаменатель как $y$.

Из условия "знаменатель на 4 больше числителя" у нас есть первое уравнение: $y = x + 4$

Теперь давайте рассмотрим условие "если числитель увеличить на 6 а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое". Это означает, что: $\frac{x + 6}{y + 4} < 2 \cdot \frac{x}{y}$

Мы можем преобразовать это неравенство: $x + 6 < 2 \cdot \frac{x \cdot (y + 4)}{y}$

Теперь заменим $y$ в соответствии с первым уравнением: $x + 6 < 2 \cdot \frac{x \cdot (x + 4 + 4)}{x + 4}$

Упростим выражение: $x + 6 < 2 \cdot \frac{x \cdot (x + 8)}{x + 4}$

Перейдем к следующему условию "если числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое". Это означает, что: $\frac{x + 8}{y + 1} > 3 \cdot \frac{x}{y}$

Аналогично предыдущему шагу, заменяем $y$ согласно первому уравнению: $\frac{x + 8}{x + 4 + 1} > 3 \cdot \frac{x}{x + 4}$

Упростим выражение: $\frac{x + 8}{x + 5} > 3 \cdot \frac{x}{x + 4}$

Теперь у нас есть система уравнений:

y = x + 4 \\ \frac{x + 6}{x + 8} < 2 \cdot \frac{x}{y} \\ \frac{x + 8}{x + 5} > 3 \cdot \frac{x}{y} \end{cases}\] Можем решить эту систему уравнений для нахождения значения \(x\) и \(y\). В результате получим числитель и знаменатель дроби, которую искали.