Question

42.При якому значенні параметра а сума квадратів коренів рівнянняx2+3x−2а= 0 буде дорівнювати 12?

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3}{4}$

Объяснение:

У уравнения по смыслу задачи должно быть два действительных корня, значит, его дискриминант положителен:

$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-2a)=9+8a>0\\a>-\dfrac{9}{8}$

По теореме Виета:

$\displaystyle\left \{ {{x_1+x_2=-3,} \atop {x_1x_2=-2a}} \right.$

Выразим сумму квадратов корней с помощью суммы и произведения корней:

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\=(-3)^2-2\cdot(-2a)=9+4a=12\\4a=3\\a=\dfrac{3}{4}$

Значение удовлетворяет положительному дискриминанту, значит, оно является ответом.

Answer 2

Давайте спробуємо вирішити цю задачу.

Маємо квадратне рівняння: x^2 + 3x - 2a = 0.

Корені цього рівняння можна знайти за допомогою квадратного кореня. Спочатку знайдемо дискримінант рівняння:

D = b^2 - 4ac,

де a = 1, b = 3, c = -2a.

Підставимо ці значення і знайдемо D:

D = 3^2 - 4 * 1 * (-2a) = 9 + 8a.

Тепер ми знаємо, що сума коренів рівняння x^2 + bx + c = 0 дорівнює -b/a. У нашому випадку b = 3, a = 1, тому сума коренів буде -3.

За теоремою Вієта маємо:

Сума коренів = -b/a = -3.

Задача ставить умову, що сума квадратів коренів дорівнює 12:

Корінь 1: x1^2 Корінь 2: x2^2

x1^2 + x2^2 = 12.

Ми також знаємо, що x1 + x2 = -3.

Знаючи це, ми можемо виразити x1^2 та x2^2 через x1 та x2:

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-3)^2 - 2x1x2 = 9 - 2x1x2.

Тепер ми можемо підставити значення суми коренів і отримати:

9 - 2x1x2 = 12,

-2x1x2 = 3,

x1x2 = -3/2.

Ми знаємо, що x1x2 = c/a = -2a/1 = -2a, отже:

-2a = -3/2,

a = 3/4.

Таким чином, при значенні параметра а = 3/4 сума квадратів коренів рівняння буде дорівнювати 12.