Question

-2sin²x-7sinx+3=0 + Найти корни, принадлежащие к cosx≤0

Answer 1

$-2sin^2x-7sinx+3=0\Leftrightarrow 2sin^2x+7sinx-3=0\\sin^2x+\frac{7}{2}sinx+\frac{49}{16}=\frac{73}{16}\Leftrightarrow \left ( sinx+\frac{7}{4} \right )^2=\frac{73}{16}\\sinx=-\frac{7}{4}\pm \frac{\sqrt{73}}{4}\Rightarrow sinx=-\frac{7}{4}+\frac{\sqrt{73}}{4}\\cosx\leq 0\Rightarrow x=\pi-arcsin\left ( \frac{-7+\sqrt{73}}{4} \right )+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Ответ:

$\[x = \pi - \arcsin \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}} + 2\pi k,k \in {\bf{Z}}\]$

Объяснение:

$\[\begin{array}{l} - 2{\sin ^2}x - 7\sin x + 3 = 0\\\sin x = \frac{{7 \pm \sqrt {49 + 4 \cdot 2 \cdot 3} }}{{ - 2 \cdot 2}} = \frac{{7 \pm \sqrt {73} }}{{ - 4}}\end{array}\]$

Т.к. |sinx|<=1, то  $\[\sin x = \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}}\]$

$\[\begin{array}{l}\sin x = \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}}\\\left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}} + 2\pi k\\x = \pi - \arcsin \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}} + 2\pi k\end{array} \right.\\x = \pi - \arcsin \frac{{7 - \sqrt {73} }}{{ - 4}} + 2\pi k,k \in {\bf{Z}}\end{array}\]$

Answer 3

Для того чтобы найти корни уравнения -2sin²x - 7sinx + 3 = 0, которые принадлежат к cosx ≤ 0, следует выполнить следующие шаги:

1. Решить квадратное уравнение относительно sinx: -2sin²x - 7sinx + 3 = 0

2. Рассмотреть интервалы, на которых cosx ≤ 0: cosx ≤ 0, когда 90° ≤ x ≤ 270°.

3. Найти значения sinx, удовлетворяющие условию на интервале 90° ≤ x ≤ 270°.

Теперь приступим к вычислениям:

1. Решение квадратного уравнения: -2sin²x - 7sinx + 3 = 0

Давайте решим это уравнение сначала относительно sinx:

2sin²x + 7sinx - 3 = 0

Для удобства обозначим sinx = t:

2t² + 7t - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно t:

(2t - 1)(t + 3) = 0

Итак, получаем два значения t:

1. 2t - 1 = 0 => t = 1/2
2. t + 3 = 0 => t = -3

2. Теперь найдем углы x, соответствующие этим значениям sinx, на интервале 90° ≤ x ≤ 270°.

a) Когда sinx = 1/2: На интервале 90° ≤ x ≤ 270° синус положителен, поэтому смотрим на точку 180° (π):

sin(180°) = 0

b) Когда sinx = -3: Значение -3 на интервале -1 ≤ sinx ≤ 1 невозможно, следовательно, это уравнение не имеет решений на указанном интервале.

Итак, единственным корнем, удовлетворяющим условию cosx ≤ 0 на интервале 90° ≤ x ≤ 270°, является x = 180° (или x = π радиан).