Question

ТЕ, КТО РАЗБИРАЕТСЯ В МАТЕМАТИКЕ! ОБЪЯСНИТЕ, УМОЛЯЮ! Дано тригонометрическое уравнение: sin2x+2sinx=1+cosx Мне нужно найти корни, принадлежащие отрезку [-4; -3]. Я решила уравнение, но не понимаю как отобрать корни!! Ведь мне даны не градусы и не радианы, а обычные числа. КАК ЭТО ВООБЩЕ ПОНЯТЬ???? ОБЪЯСНИТЕ

Answer 1

$> x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\\ cosx = -1 => x = \pi + 2\pi m, m \in Z\\x \in [-4;-3]\\-4 < (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n < -3\\-24 < (-1)^n\pi+6\pi n < -18$

Подставляем n = 0 - неравенство не выполнено. n = 1 - неравенство не выполнено. Следовательно, при n ≥ 0 решений не будет, т.к.  (-1)^n + 6n - функция возрастающая.

Пусть n = -1, тогда выражение $(-1)^n\pi + 6\pi n = -7\pi.$ Так как 3.14 < π < 3.15, то

-22.05  < -7π < -21.98. Очевидно, оно попадает на промежуток (-24; -18). Значит, при n = -1 решение есть на данном отрезке. Подставим n = -1 в серию корней:

$x = (-1)^{-1}*\frac{\pi}{6} + \pi * (-1) = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7}{6}\pi \approx -3.6652$

Такими же рассуждениями приходим к тому, что n ≤ -2 так же не являются решениями.

Теперь рассмотрим вторую серию корней:

$></p> <p>Тут совсем все просто: при m = 0, очевидно, неравенство не выполнено. При m = 1 так же. Так как выражение <img src=$ при возрастании m увеличивается, то и m ≥ 2 также не подходят.

Пусть m = -1, тогда:

$-4 < \pi + 2\pi * (-1) < -3\\-4 < -\pi < -3\\-\pi \approx -3.1415926$

Очевидно, что это так. Подставляя m = -2 понимаем, что число меньше -4.

Вопросы ниже в комменты.

Ответ: $x_1 = -\frac{7}{6} \pi\\x_2 = -\pi$

Answer 2

Конечно, я помогу вам разобраться! Давайте шаг за шагом разберемся с данным тригонометрическим уравнением и его корнями.

Данное уравнение: sin(2x) + 2sin(x) = 1 + cos(x)

Шаг 1: Приведение к более простому виду. Перепишем уравнение в терминах основных тригонометрических функций: 2sin(x)cos(x) + 2sin(x) - cos(x) - 1 = 0

Шаг 2: Замена переменной. Введем новую переменную, например, z = sin(x). Тогда уравнение примет вид: 2zcos(x) + 2z - √(1 - z^2) - 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z. Решим его относительно z с помощью квадратного дискриминанта: D = (2cos(x))^2 - 4(2)(-√(1 - z^2) - 1) D = 4cos^2(x) + 8√(1 - z^2) + 32

Шаг 4: Анализ дискриминанта. Чтобы уравнение имело решения, дискриминант D должен быть больше или равен нулю: D ≥ 0. Это условие позволит нам найти значения z, которые соответствуют корням уравнения.

Шаг 5: Решение неравенства. Решим неравенство D ≥ 0 относительно cos(x): 4cos^2(x) + 8√(1 - z^2) + 32 ≥ 0

Шаг 6: Выражение для cos(x). Извлечем корень из неравенства: 2cos^2(x) + 4√(1 - z^2) + 16 ≥ 0 cos^2(x) + 2√(1 - z^2) + 8 ≥ 0

Шаг 7: Анализ выражения. Теперь это неравенство относительно cos^2(x). Заметьте, что cos^2(x) всегда находится в диапазоне от 0 до 1, поэтому выражение cos^2(x) + 2√(1 - z^2) + 8 всегда больше или равно 2.

Шаг 8: Сводим задачу. Мы получили, что выражение cos^2(x) + 2√(1 - z^2) + 8 всегда больше или равно 2. Следовательно, неравенство D ≥ 0 всегда выполняется для любых значений z.

Это означает, что при заданном интервале [-4, -3] наша функция не имеет решений, так как неравенство D ≥ 0 всегда выполняется, и нам не удается найти такие значения z, которые соответствовали бы корням уравнения на данном интервале.

Таким образом, в данном случае на интервале [-4, -3] у данного тригонометрического уравнения нет корней.