Question

Докажите, пожалуйста, неравенство: 2a/(b+c) + 2b/(c+a) + 2c/(a+b) >= 3 (a>0, b>0, c>0)

Answer 1

Обозначим cлагаемые за Х,У,Z

(X+Y+Z)/3>=1

Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :

ХУZ>=1

Вернемся к исходным обозначениям

8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)

Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим

a+b>=2sqrt(ab)   b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)

поэтому можим заменить сомножители справа на произведение

2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc,   что и доказывает неравенство.

Равенство достигается только при а=с=b

Answer 2

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом математической индукции.

Пусть дано неравенство для некоторых положительных значений a, b и c:

$\frac{2a}{b+c} + \frac{2b}{c+a} + \frac{2c}{a+b} \geq 3$

Теперь докажем, что оно верно для a + δa, b + δb и c + δc, где δa, δb и δc — произвольные положительные приращения.

Рассмотрим левую часть неравенства для новых значений переменных:

$LHS = \frac{2(a+\delta a)}{b+\delta b+c} + \frac{2(b+\delta b)}{c+\delta c+a} + \frac{2(c+\delta c)}{a+\delta a+b}$

Раскроем числители:

$LHS = \frac{2a+2\delta a}{b+\delta b+c} + \frac{2b+2\delta b}{c+\delta c+a} + \frac{2c+2\delta c}{a+\delta a+b}$

Теперь заметим, что числители в каждой дроби увеличились на 2δa, 2δb и 2δc соответственно. Поскольку δa, δb и δc положительны, мы можем утверждать, что числители увеличились, а значит, значения дробей возросли.

Так как сумма положительных чисел больше или равна самой себе, то мы можем сказать, что:

$LHS \geq \frac{2a}{b+c} + \frac{2b}{c+a} + \frac{2c}{a+b}$

Из предположения, что исходное неравенство выполняется, мы знаем, что:

$\frac{2a}{b+c} + \frac{2b}{c+a} + \frac{2c}{a+b} \geq 3$

Совмещая эти два неравенства, получаем:

$LHS \geq \frac{2a}{b+c} + \frac{2b}{c+a} + \frac{2c}{a+b} \geq 3$

Таким образом, мы показали, что если исходное неравенство выполняется, то оно также выполняется для любых положительных приращений δa, δb и δc.

Исходя из этого, мы можем заключить, что исходное неравенство выполняется для всех положительных значений a, b и c.