Question

Докажите что функция у = 3х является возрастающей (используй правила возрастающей функции).

Answer 1

Для возрастающей функции выполняется условие: большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

$y=3x$

Выберем два значения аргумента: $x_1$ и $x_2$, причем $x_2>x_1$. Найдем значения функции в этих точках:

$y(x_1)=3x_1$

$y(x_2)=3x_2$

Выполним разностное сравнение этих значений:

$y(x_2)-y(x_1)=3x_2-3x_1=3(x_2-x_1)$

Так как выбранные $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условию $x_2>x_1$, то $x_2-x_1>0$. Тогда и $3(x_2-x_1)>0$.

Значит, $y(x_2)-y(x_1)>0$ или $y(x_2)>y(x_1)$.

Таким образом, из условия $x_2>x_1$ получено соотношение $y(x_2)>y(x_1)$. Это говорит о том, что функция $y=3x$ возрастающая.

Answer 2

Для доказательства того, что функция у = 3х является возрастающей, мы должны показать, что при увеличении значения аргумента x, значение функции y также увеличивается. Используем определение возрастающей функции:

Функция f(x) называется возрастающей на интервале I, если для любых двух точек x₁ и x₂ из интервала I, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) ≤ f(x₂).

В нашем случае у = 3x. Проверим, выполняется ли определение для данной функции:

Пусть x₁ и x₂ — произвольные точки из интервала I (в данном случае, это множество всех действительных чисел).

Пусть x₁ < x₂. Тогда: y₁ = 3x₁ y₂ = 3x₂

Поскольку x₁ < x₂, то умножение на положительное число (3) не меняет порядок неравенства. То есть, 3x₁ < 3x₂.

Следовательно: y₁ = 3x₁ < 3x₂ = y₂

Таким образом, мы видим, что для любых x₁ и x₂ из интервала I, для которых x₁ < x₂, выполняется неравенство y₁ < y₂ или, что то же самое, y₁ ≤ y₂.

Это соответствует определению возрастающей функции. Таким образом, функция y = 3x является возрастающей на всей числовой прямой или, другими словами, на любом интервале.