Question

Решить уравнение в натуральных числах y^2+6y=x^2+2x+1.

Answer 1

Y² + 6y = x² + 2x + 1
(y² + 6y + 9) - 9 = x² + 2x + 1
(y + 3)² - 9 = (x + 1)²
(y + 3)² - (x + 1)² = 9
x = 3       y = 2

Answer 2

Решение во вложении.

Answer 3

Для решения уравнения $y^2 + 6y = x^2 + 2x + 1$ в натуральных числах, давайте преобразуем его, чтобы получить выражение, которое легче анализировать:

$y^2 + 6y = x^2 + 2x + 1$

Для того чтобы завершить квадрат с обеих сторон уравнения, добавим к обеим сторонам по $9$ (это $(6/2)^2$):

$y^2 + 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + 9$

$(y + 3)^2 = x^2 + 2x + 10$

Теперь, если у нас есть два квадратных числа, равные между собой, их выражения должны быть равными:

$y + 3 = \pm \sqrt{x^2 + 2x + 10}$

Разберемся с выражением под корнем $x^2 + 2x + 10$. Чтобы узнать, когда оно является квадратом целого числа, давайте рассмотрим его дискриминант:

Дискриминант ($D$) для $ax^2 + bx + c$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 1$, $b = 2$ и $c = 10$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант $D$ отрицательный, это означает, что уравнение $x^2 + 2x + 10 = 0$ не имеет решений в натуральных числах.

Следовательно, уравнение $y^2 + 6y = x^2 + 2x + 1$ не имеет решений в натуральных числах.