Question

Петя выписал на доску 5 натуральных (не обязательно различных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел получилось всего 3 три различных значений 97, 80 и 63 Чему равно наибольшее из написанных на доске чисел Запишите решение и ответ​

Answer 1

получилось 3 различных сумм ⇒ в этом наборе существует 3 различных чисел

Пусть x,y,z трое различных чисел

x+y=97

x+z=80

y+z=63

понятно что x наибольшее значение

(x+z)-(y+z)=x+z-z-y=x-y=80-63=23

(x+y)+(x-y)=x+y-y+x=2x=97+23=120

2x=120

x=60

наибольшее число 60

Answer 2

Пусть Петя выписал на доску 5 чисел: $a, b, c, d$ и $e$.

Из условия известно, что всевозможные попарные суммы этих чисел дают 3 различных значения: 97, 80 и 63.

Давайте рассмотрим возможные варианты комбинаций сумм:

1. $a + b$
2. $a + c$
3. $a + d$
4. $a + e$
5. $b + c$
6. $b + d$
7. $b + e$
8. $c + d$
9. $c + e$
10. $d + e$

Из этих комбинаций сумм были получены 3 различных значения: 97, 80 и 63.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты, как можно получить эти значения:

1. 97 можно получить, например, как сумму $a + d$ или $b + e$.
2. 80 можно получить, например, как сумму $b + c$ или $c + d$.
3. 63 можно получить, например, как сумму $a + b$ или $c + e$.

Теперь давайте рассмотрим варианты комбинаций чисел, которые могли бы дать наибольшее значение 97:

1. $a + d = 97$
2. $b + e = 97$

Из этих уравнений следует, что одно из чисел, например $a$ или $b$, равно $97 - d$ или $97 - e$ соответственно.

Теперь рассмотрим варианты комбинаций чисел, которые могли бы дать наибольшее значение 80:

1. $b + c = 80$
2. $c + d = 80$

Из этих уравнений следует, что одно из чисел, например $b$ или $d$, равно $80 - c$ или $80 - d$ соответственно.

Таким образом, наибольшее число среди выписанных на доску чисел будет либо $97 - d$, либо $97 - e$, либо $80 - c$, либо $80 - d$.

Однако, так как у нас всего 5 чисел, и нам нужно выбрать наибольшее из них, мы можем исключить случаи, когда число равно $97 - d$ или $97 - e$, так как сумма 97 является максимальной возможной из данных значений.

Таким образом, наибольшее число будет либо $80 - c$, либо $80 - d$.

Мы знаем, что сумма 80 была получена как $b + c$ или $c + d$, поэтому наибольшее число должно быть равно $80 - c$ или $80 - d$. Из этих двух вариантов наибольшим будет $80 - c$.

Итак, наибольшее число, написанное на доске, равно $80 - c$.

Так как все числа натуральные, они должны быть положительными. Поэтому наибольшее число будет максимально, когда $c$ равно минимально. Поскольку сумма 63 была получена как $a + b$ или $c + e$, а $c$ минимальное, то $c = 63 - a - b$.

Таким образом, наибольшее число на доске равно:

$$\text{Наибольшее число} = 80 - c = 80 - (63 - a - b) = 80 - 63 + a + b = 17 + a + b$$

Так как $a$ и $b$ - натуральные числа, наибольшее число будет, когда $a = 5$ и $b = 5$, следовательно:

$$\text{Наибольшее число} = 17 + 5 + 5 = 27$$

Итак, наибольшее число, написанное на доске, равно 27.