Question

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Answer 1

Ответ:

266

Объяснение:

Сначала посчитаем, сколько чисел делится только на 2, 3, 5:

2: 1000 / 2 = 500 (множество A);

3: [1000 / 3] = 333 (B);

5: 1000 / 5 = 200 (C);

Теперь найдем пересечения этих множеств:

A ∩ B (те числа, которые делятся и на 2 и на 3, то есть на 6) = 1000 / 6 = 166;

A ∩ C (на 2 и на 5, то есть на 10) = [1000 / 10] = 100;

B ∩ C (на 3 и на 5, то есть на 15) = [1000 / 15] = 66;

A ∩ B ∩ C = (и на 2, и на 3, и на 5, то есть на 30) = [1000 / 30] = 33;

Теперь, по формуле включений-исключений найдем:

A ∪ B ∪ C = | A | + | B | + | C | - | A ∩ B | - | B ∩ C | - | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | = 500 + 333 + 200 - 166 - 100 - 66 + 33 = 734 (те числа, которые делятся либо на 2, либо на 3, либо на 5)

Теперь найдем те, которые ни на одного не делятся:

1000 - 734 = 266

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом включения-исключения. Нам нужно найти количество натуральных чисел от 1 до 1000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Общее количество натуральных чисел от 1 до 1000 равно 1000. Теперь давайте найдем количество чисел, которые делятся на 2, 3 или 5, и вычтем это число из общего количества.

Чисел, делящихся на 2, в интервале от 1 до 1000: 1000 / 2 = 500. Чисел, делящихся на 3, в интервале от 1 до 1000: 1000 / 3 = 333 (округленно вниз). Чисел, делящихся на 5, в интервале от 1 до 1000: 1000 / 5 = 200.

Теперь у нас есть пересечения: числа, которые делятся одновременно на два из этих делителей.

Чисел, делящихся одновременно на 2 и 3: 1000 / (2 * 3) = 166 (округленно вниз). Чисел, делящихся одновременно на 2 и 5: 1000 / (2 * 5) = 100. Чисел, делящихся одновременно на 3 и 5: 1000 / (3 * 5) = 66 (округленно вниз).

Чисел, делящихся одновременно на 2, 3 и 5: 1000 / (2 * 3 * 5) = 33.

Теперь мы можем применить принцип включения-исключения:

Общее количество чисел - (числа, делящиеся на 2) - (числа, делящиеся на 3) - (числа, делящиеся на 5) + (числа, делящиеся на 2 и 3) + (числа, делящиеся на 2 и 5) + (числа, делящиеся на 3 и 5) - (числа, делящиеся на 2, 3 и 5):

1000 - 500 - 333 - 200 + 166 + 100 + 66 - 33 = 1000 - 933 + 332 - 33 = 366.

Итак, существует 366 натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.