Question

Доведіть що функції F₁(x)= sin² x і F₂(x)= -1/2 cos 2x є первісними функції f(x)= sin 2x. При якому значенні С є правильною рівність F₂(x)=F₁(x)+С?

Answer 1

Ответ:

$C=-\frac{1}{2}$

Объяснение:

Функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$

$></p> <p><img src=$

$F_2(x)=-\frac{1}{2}cos(2x)=-\frac{1}{2}(1-2sin^2x)=-\frac{1}{2}+sin^2x=F_1(x)-\frac{1}{2} \Rightarrow C=-\frac{1}{2}$

Answer 2

Для того щоб довести, що функції F₁(x) = sin²(x) та F₂(x) = -1/2 cos(2x) є первісними функціями f(x) = sin(2x), давайте знайдемо похідні цих функцій та переконаймося, що вони дійсно є похідними від f(x).

1. Для функції F₁(x) = sin²(x): Спочатку запишемо формулу для квадрату синуса: sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Тепер, щоб знайти похідну від цієї функції, візьмемо похідну від обох боків виразу: d/dx [sin²(x)] = d/dx [(1 - cos(2x)) / 2] 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Отже, похідна функції F₁(x) дорівнює f(x) = sin(2x), тобто F₁(x) є первісною функцією для f(x).

2. Для функції F₂(x) = -1/2 cos(2x): Щоб знайти похідну функції F₂(x), візьмемо похідну від -1/2 cos(2x): d/dx [-1/2 cos(2x)] = 1/2 * 2 * sin(2x) -1/2 * 2 * sin(2x) = -sin(2x)

Отже, похідна функції F₂(x) дорівнює -sin(2x), але ми маємо функцію f(x) = sin(2x). Щоб збігалося, ми можемо помножити -1 на f(x), щоб отримати -sin(2x), яке є похідною F₂(x). Тобто, функція -f(x) також є первісною для -sin(2x).

Тепер, давайте розглянемо рівність F₂(x) = F₁(x) + C: -1/2 cos(2x) = (1 - cos(2x)) / 2 + C

Для того щоб визначити значення константи C, розв'яжемо рівняння відносно C: -1/2 cos(2x) = 1/2 - 1/2 cos(2x) + C C = 0

Отже, правильна рівність буде: F₂(x) = F₁(x) + 0 F₂(x) = F₁(x)