Question

Помогите решить неравенство m2+n2+1>=m+n+mn

Answer 1

Учитывая, что cумма квадратов трех чисел неотрицательна, то для ЛЮБЫХ $m,n$ cправедливо неравенство:

$(m-1)^2+(n-1)^2+(m-n)^2\geq0\\ m^2-2n+1+n^2-2n+1+m^2-2mn+n^2\geq 0\\2m^2+2n^2+2\geq 2m+2n+2mn\\m^2+n^2+1\geq m+n+ mn$

Равенство наступает при $n=m=1$.

Как видим, неравенство верно при ВСЕХ $m$ и $n$

Answer 2

Давайте попробуем решить это неравенство. Начнем с преобразования выражения:

m^2 + n^2 + 1 >= m + n + mn

Вычитаем m и n с обеих сторон:

m^2 - m + n^2 - n + 1 >= mn

Теперь давайте выразим левую сторону неравенства как сумму квадратов:

(m^2 - m + 1) + (n^2 - n + 1) >= mn

Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Применим это к обоим скобкам:

(m - 1/2)^2 + (n - 1/2)^2 + 3/4 >= mn

Теперь у нас есть неравенство, где каждое из слагаемых является квадратом, а 3/4 — константа. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то каждое из слагаемых слева также не может быть отрицательным. Поэтому мы можем сказать:

(m - 1/2)^2 >= 0 (n - 1/2)^2 >= 0

И добавив эти два неравенства, получим:

(m - 1/2)^2 + (n - 1/2)^2 >= 0

Что всегда верно, так как квадрат любого числа равен или больше нуля. Таким образом, исходное неравенство m^2 + n^2 + 1 >= m + n + mn верно для любых значений m и n.