Question

4x³ + 6x² + 4x + 1 = 0решить с помощью таблицы Горнера30 баллов.​

Answer 1

Дано уравнение 4x³ + 6x² + 4x + 1 = 0.

Разделим его на 4: x³ + 1,5x² + x + 0,25 = 0.

Корни многочлена можно найти среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 0,25.

Ясно, что корень должен быть отрицательным.

0,25 = -0,5 * -0,5.

Проверяем: (-0,5)³ + 1,5*(-0,5)² + (-0,5) + 0,25 = 0. Верно.

Тут применяем схему Горнера: (x³ + 1,5x² + x + 0,25) / (x - (-0,5)).

                 1        1,5       1         0,25

  -0,5         1        1         0,5        0.

Тогда заданный многочлен можно разложить на множители.

4x³ + 6x² + 4x + 1 = 4*(x + 0,5)*(x² + x + 0,5) = 0.

Первый корень:  x + 0,5 = 0,   x = - 0,5.

Приравниваем нулю второй многочлен как квадратное уравнение

x² + x + 0,5 = 0.   В = 1 - 4*1*0,5 = 1 - 2 = -1. Корней нет.

Ответ: х = -0,5.

Answer 2

Для решения уравнения с помощью метода Горнера, нужно использовать таблицу Горнера, чтобы делать итеративные вычисления и уточнить корни уравнения. Давайте начнем:

Уравнение: 4x³ + 6x² + 4x + 1 = 0

Сначала нужно записать коэффициенты уравнения в таблицу. Запишем их в следующем порядке: 4, 6, 4, 1.

Copy code
  4 |  6  4  1

Теперь начнем итерационные вычисления:

1. В первой строке остается первый коэффициент: 4.
2. Умножаем 4 на предполагаемый корень (для поиска корней вида x - a, где a - предполагаемый корень).

markdownCopy code
  4 |  6  4  1
      -4
-----------
      2  0  1

3. Затем берем следующий коэффициент 6 и прибавляем результат предыдущего шага.

markdownCopy code
  4 |  6  4  1
      -4
-----------
      2  0  1
    + 2  8
-----------
      2  2  1

4. Повторяем процесс для последнего коэффициента 4.

markdownCopy code
  4 |  6  4  1
      -4
-----------
      2  0  1
    + 2  8
-----------
      2  2  1
    + 2  8
-----------
          10  1

Итак, таблица Горнера завершена. Полученные значения последней строки соответствуют коэффициентам уравнения при подстановке предполагаемого корня.

У нашего уравнения получилась новая квадратичная функция: 2x² + 2x + 10 = 0. Она не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Таким образом, исходное уравнение 4x³ + 6x² + 4x + 1 = 0 не имеет рациональных корней.