Question

Найти, чему равно значение выражения x^2+y^2+z^2 если x-y+z=8 и xz-xy-yz=-23

Answer 1

(x-y+z)²=x²+y²+z²-2xy+2xz-2yz   ⇒

x²+y²+z²=(x-y+z)²-(2xz-2xy-2yz )

x²+y²+z²=(x-y+z)²-2(xz-xy-yz )=8²-2·(-23)=64+46=110

Answer 2

У вас есть система из двух уравнений:

1. $x - y + z = 8$
2. $xz - xy - yz = -23$

Давайте попробуем решить эту систему уравнений, чтобы выразить $x$, $y$ и $z$ через друг друга. Для этого можно использовать метод подстановки.

Из первого уравнения можно выразить одну из переменных, например, $z$:

$z = 8 - x + y$

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение:

$xz - xy - yz = -23$

$(8 - x + y)x - xy - y(8 - x + y) = -23$

$8x - x^2 + xy - 8y + xy - y^2 = -23$

$8x - x^2 + 2xy - 8y - y^2 = -23$

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только переменные $x$ и $y$. Давайте попробуем решить это уравнение относительно одной из переменных, например, $x$:

$8x - x^2 + 2xy - 8y - y^2 = -23$

Переносим все члены на одну сторону:

$x^2 + (2y - 8)x + y^2 - 8y + 23 = 0$

Теперь это уравнение квадратного вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 2y - 8$ и $c = y^2 - 8y + 23$. Мы можем применить квадратное уравнение для нахождения значений $x$ в зависимости от $y$.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$. Решение квадратного уравнения будет зависеть от значения дискриминанта.

1. Если $D > 0$, то у уравнения два различных вещественных корня.
2. Если $D = 0$, то у уравнения один вещественный корень кратности 2.
3. Если $D < 0$, то у уравнения два комплексных корня.

После того как мы найдем значения $x$, мы сможем подставить их в выражение для $z$ и использовать первое уравнение для вычисления $y$. После этого мы сможем найти значения $x$, $y$ и $z$ и подставить их в выражение $x^2 + y^2 + z^2$, чтобы найти его значение.