Question

Разложите на множители Многочлен a^4+ 15а^2 + 4а + 60. Множители должны иметь целые коэффициенты, старшие коэффициенты должны быть положительны. ​

Answer 1

Объяснение:

$a^4+15a^2+4a+60=a^4+16a^2+64-a^2+4a-4=\\=(a^2)^2+2*a^2*8+8^2-(a^2-4a+4)=(a^2+8)^2-(a-2)^2=\\=(a^2+8-a+2)(a^2+8+a-2)=(a^2-a+10)(a^2+a+6).$

Answer 2

Давайте попробуем разложить данный многочлен на множители.

a^4 + 15a^2 + 4a + 60

Сначала мы можем попробовать разложить его на две части, группируя слагаемые:

(a^4 + 4a) + (15a^2 + 60)

В первой группе можно вынести общий множитель a:

a(a^3 + 4) + 15a^2 + 60

Теперь попробуем вынести общий множитель из второй группы:

a(a^3 + 4) + 15(a^2 + 4)

Мы видим, что в первой скобке у нас получился куб суммы идеального куба и числа 4. Мы можем воспользоваться идеальным кубом:

a^3 + 4 = (a + 1)(a^2 - a + 1)

Теперь наш многочлен выглядит так:

a(a + 1)(a^2 - a + 1) + 15(a^2 + 4)

Далее, мы видим, что во второй скобке у нас сумма квадрата и числа 4. Мы можем попробовать разложить этот квадрат:

a^2 + 4 = (a + 2i)(a - 2i)

Теперь наш многочлен выглядит так:

a(a + 1)(a^2 - a + 1) + 15(a + 2i)(a - 2i)

Мы можем раскрыть скобки в каждом множителе и привести подобные слагаемые:

a^4 + a^3 + a^2 - a^2 + a + 15a - 60 + 15i^2

Обратите внимание, что i^2 равно -1:

a^4 + a^3 + 16a - 60 - 15

И наконец, получаем:

a^4 + a^3 + 16a - 75

Таким образом, искомое разложение на множители:

(a + 1)(a^3 + 16) + 15(a + 2i)(a - 2i)