Question

Тождественное преобразование со степенями и корнями.

Answer 1

$\boxed {\ \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\ }\\\\\boxed{\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\ }\ \ ,\ \ \ \ a=x^{\frac{1}{3}}\ ,\ b=5^{\frac{1}{3}}\ ,\ \ ab=x^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3} }=(5x)^{\frac{1}{3}}$   ,  

$\boxed {\ (x^{n})^{k}=x^{nk}\ \ \ \to \ \ \ (x^{\frac{1}{3}})^3=x\ }$

$\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]5}=\dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{x^{\frac{1}{3}}\cdot (\ x^{\frac{2}{3}}-(5x)^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{2}{3}}\ )}{(\ x^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{5}}\ )(\ x^{\frac{2}{3}}-(5x)^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{2}{3}}\ )}=\\\\\\=\dfrac{x^{\frac{1}{3}}\cdot (\ x^{\frac{2}{3}}-(5x)^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{2}{3}}\ )}{x+5}=\dfrac{\sqrt[3]{x}\cdot (\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{5^2})}{x+5}$

Answer 2

Тождественное преобразование (или тождество) в математике обозначает равенство выражений, которое верно для любых значений переменных, входящих в эти выражения. Если вы интересуетесь тождественными преобразованиями, связанными со степенями и корнями, то вот несколько примеров:

1. Тождество бинома Ньютона: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ Это тождество связано со степенями и коэффициентами биномиального разложения.

2. Тождество Эйлера: $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ Это тождество связывает экспоненциальную функцию с тригонометрическими функциями.

3. Тождество Пифагора: В тригонометрии существует множество тождеств, связанных с тригонометрическими функциями, такие как: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

4. Тождество двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ Это тождество позволяет выразить косинус двойного угла через косинус и синус угла.

5. Тождество Муавра: $(\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx) + i \sin(nx)$ Это тождество раскрывает свойства возведения комплексного числа в степень.

6. Тождество корень-квадрат: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ Это тождество связано с свойствами корней и умножения.

7. Тождество разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ Это тождество связано с разложением разности квадратов.

Это лишь некоторые из примеров тождественных преобразований, связанных со степенями и корнями. Математика полна подобных тождеств, которые помогают упростить и анализировать различные математические выражения.