Question

Число размещений из x по 3 в 12 раз больше числа сочетаний из x по 2 найти x

Answer 1

$A_{x}^3=12\cdot C_{x}^2\\\\x\cdot (x-1)(x-2)=12\cdot \dfrac{x\cdot (x-1)}{2!}\\\\\\x\cdot (x-1)(x-2)=6\cdot x\cdot (x-1)\\\\x-2=6\ \ ,\ \ x\ne 0\ ,\ x\ne 1\\\\\boxed {\ x=8\ }$

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Пусть "Число размещений из x по 3" обозначается как $A(x, 3)$, а "Число сочетаний из x по 2" обозначается как $C(x, 2)$.

Число размещений из $x$ по $3$ выражается формулой: $A(x, 3) = \frac{x!}{(x-3)!} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}.$

Число сочетаний из $x$ по $2$ выражается формулой: $C(x, 2) = \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!} = \frac{x \cdot (x-1)}{2 \cdot 1} = \frac{x(x-1)}{2}.$

Из условия задачи у нас есть следующее уравнение: $A(x, 3) = 12 \cdot C(x, 2).$

Подставляя выражения для $A(x, 3)$ и $C(x, 2)$: $\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 12 \cdot \frac{x(x-1)}{2}.$

Теперь давайте решим это уравнение: $\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = \frac{12x(x-1)}{2}.$

Умножим обе стороны уравнения на $6$ и сократим общие множители: $x(x-1)(x-2) = 36x(x-1).$

Раскроем скобки: $x^3 - 3x^2 + 2x = 36x^2 - 36x.$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения: $x^3 - 39x^2 + 38x = 0.$

Теперь факторизуем это уравнение: $x(x-1)(x-38) = 0.$

Таким образом, у нас есть три решения: $x = 0$, $x = 1$ и $x = 38$.