Question

При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=3, выражение 4n^2-4mn-3m^2 принимает наименьшее значение.

Answer 1

Выразим из соотношения для переменных одну из переменных:

$m=3-n$

Подставим выражение для m в заданное выражение:

$4n^2-4mn-3m^2=4n^2-4n(3-n)-3(3-n)^2=$

$=4n^2-12n+4n^2-3(9-6n+n^2)=$

$=8n^2-12n-27+18n-3n^2=5n^2+6n-27$

Получившееся выражение можно рассматривать как квадратичную функцию $y=5n^2+6n-27$, принимающую наименьшее значение в вершине. Найдем абсциссу вершины:

$n_B=-\dfrac{6}{2\cdot5} =-0.6$

Находим m:

$m=3-n=3-(-0.6)=3.6$

Таким образом, при $m=3.6$ и $n=-0.6$ заданное выражение принимает наименьшее значение.

Ответ: m=3.6; n=-0.6

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение: $4n^2 - 4mn - 3m^2$. Чтобы найти значения $m$ и $n$, при которых оно принимает наименьшее значение, мы можем воспользоваться методом частных производных.

Сначала, у нас есть условие $m + n = 3$, что можно переписать в виде $n = 3 - m$.

Теперь подставим это значение $n$ в выражение и рассмотрим функцию $f(m) = 4(3 - m)^2 - 4m(3 - m) - 3m^2$.

Выполним расчеты:

$$\begin{align*} f(m) &= 4(9 - 6m + m^2) - 12m + 4m^2 - 3m^2 \\ &= 36 - 24m + 4m^2 - 12m + 4m^2 - 3m^2 \\ &= 8m^2 - 36m + 36 \end{align*}$$

Теперь найдем производную $f'(m)$:

$$f'(m) = 16m - 36$$

Для нахождения минимума, приравняем $f'(m)$ к нулю:

$$16m - 36 = 0 \implies m = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$$

Таким образом, $m = \frac{9}{4}$. Подставив значение $m$ обратно в уравнение $n = 3 - m$, получим:

$$n = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $4n^2 - 4mn - 3m^2$ достигается при $m = \frac{9}{4}$ и $n = \frac{3}{4}$.