Question

Найдите наименьшее значение выражения (x^2+3)^2+(y^2-2)^2-3

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$(x^2+3)^2+(y^2-2)^2-3$

Очевидно, что наименьшее значение, которое может дать скобка $(x^2+3)^2$ равно $3$ при $x=0$, а наименьшее значение, которое даст скобка $(y^2-2)^2$ равно $0$ при $y=\pm\sqrt{2}$. Тогда получим, что наименьшее значение равно $3+0-3=0$. Значит $0$ - наименьшее значение выражения.

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте найдем производные по переменным x и y и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки:

Выражение: $f(x, y) = (x^2 + 3)^2 + (y^2 - 2)^2 - 3$

1. Частная производная по $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 2 \cdot (x^2 + 3) \cdot x = 4x(x^2 + 3)$

2. Частная производная по $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = 2 \cdot 2 \cdot (y^2 - 2) \cdot y = 4y(y^2 - 2)$

Теперь приравняем обе производные к нулю и решим уравнения:

1. $4x(x^2 + 3) = 0$ Решение: $x = 0$ (одна критическая точка)

2. $4y(y^2 - 2) = 0$ Решение: $y = 0$ или $y = \pm \sqrt{2}$ (три критические точки)

Подставим найденные значения $x$ и $y$ обратно в исходное выражение $f(x, y)$:

1. Для $x = 0$: $f(0, y) = (0^2 + 3)^2 + (y^2 - 2)^2 - 3 = 9 + (y^2 - 2)^2 - 3 = (y^2 - 2)^2 + 6$

2. Для $y = 0$: $f(x, 0) = (x^2 + 3)^2 + (0^2 - 2)^2 - 3 = (x^2 + 3)^2 + 4 - 3 = (x^2 + 3)^2 + 1$

3. Для $y = \sqrt{2}$: $f(x, \sqrt{2}) = (x^2 + 3)^2 + (\sqrt{2}^2 - 2)^2 - 3 = (x^2 + 3)^2 + 2 - 3 = (x^2 + 3)^2 - 1$

4. Для $y = -\sqrt{2}$: $f(x, -\sqrt{2}) = (x^2 + 3)^2 + (-\sqrt{2}^2 - 2)^2 - 3 = (x^2 + 3)^2 + 2 - 3 = (x^2 + 3)^2 - 1$