Question

1. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3- остаток 2, при делении на 4 - остаток 3, при делении на 8 - остаток 7 Поомогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

23

Объяснение:

Числа, дающие при делении на 2 остаток 1:

$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29...$

Числа, дающие при делении на 3 остаток 2:

$5, 8,11,14,17,20,23,26,29...$

Числа, дающие при делении на 4 остаток 3:

$7,11,15,19,23,27...$

Числа, дающие при делении на 8 остаток 7:

$15,23...$

Сравнивая последовательности, видим, что наименьшее подходящее число - 23

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Нам нужно найти число x, которое соответствует всем указанным остаткам при делении на 2, 3, 4 и 8.

Мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках, чтобы решить эту задачу. Эта теорема гласит, что если дана система сравнений:

$$\begin{align*} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &\vdots \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{align*}$$

где $m_1, m_2, \ldots, m_n$ - попарно взаимно простые модули, а $a_1, a_2, \ldots, a_n$ - соответствующие остатки, то существует единственное решение $x$, удовлетворяющее этой системе сравнений по модулю $M = m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n$.

В данной задаче у нас есть следующая система сравнений:

$$\begin{align*} x &\equiv 1 \pmod{2} \\ x &\equiv 2 \pmod{3} \\ x &\equiv 3 \pmod{4} \\ x &\equiv 7 \pmod{8} \end{align*}$$

Модули $2$, $3$, $4$ и $8$ попарно взаимно простые. Поэтому $M = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 8 = 192$.

Теперь мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида, чтобы найти обратные элементы $M_i$ для каждого модуля $m_i$ по модулю $m_i$. Затем, умножая $a_i \cdot M_i \cdot M_i$, мы получим $x_i$ для каждой пары $a_i$ и $m_i$. После этого просто сложим все $x_i$ и возьмем остаток по модулю $M$, чтобы получить ответ:

$$x = (1 \cdot 96 \cdot 96 + 2 \cdot 64 \cdot 64 + 3 \cdot 48 \cdot 48 + 7 \cdot 24 \cdot 24) \mod 192$$

Посчитав это выражение, получим $x = 103$. Таким образом, наименьшее число, удовлетворяющее всем данным условиям, равно 103.