Question

Вычислите, представив угол в виде суммы или разности: sin105° cos15° tg75°

Answer 1

$1)\ \ sin105^\circ =sin(60^\circ +45^\circ )=sin60^\circ \cdot cos45^\circ +sin45^\circ \cdot cos60^\circ =\\\\\\=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \\\\\\2)\ \ cos15^\circ =cos(45^\circ -30^\circ )=cos45^\circ \cdot cos30^\circ +sin45^\circ \cdot sin30^\circ =\\\\\\=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

$3)\ \ tg75^\circ =tg(45^\circ +30^\circ )=\dfrac{tg45^\circ +tg30^\circ }{1-tg45^\circ \cdot tg30^\circ }=\dfrac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt3}{3}}=\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\\\\\\=\dfrac{\sqrt3\cdot (\sqrt3+1)}{\sqrt3\cdot (\sqrt3-1)}=\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\dfrac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

Answer 2

Ответ:

решение на фотографии

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы представить углы в виде суммы или разности других углов, для которых мы знаем значения функций синуса, косинуса и тангенса.

Давайте приступим:

sin(105°) = sin(60° + 45°) sin(105°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°) sin(105°) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) sin(105°) = (√6 + √2)/4

cos(15°) = cos(45° - 30°) cos(15°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°) cos(15°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) cos(15°) = (√6 + √2)/4

tg(75°) = tg(45° + 30°) tg(75°) = (tg(45°) + tg(30°))/(1 - tg(45°)tg(30°)) tg(75°) = (1 + (√3/3))/(1 - (1)(√3/3)) tg(75°) = (√3 + 1)/(√3 - 1)

Теперь мы можем вычислить значение, заменив эти функции синуса, косинуса и тангенса:

sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((√6 + √2)/4) * ((√6 + √2)/4) * ((√3 + 1)/(√3 - 1))

Упростим эту выражение:

sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((√6 + √2)^2/16) * ((√3 + 1)/(√3 - 1)) sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((6 + 2 + 2√12)/16) * ((√3 + 1)/(√3 - 1)) sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((8 + 2√12)/16) * ((√3 + 1)/(√3 - 1)) sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((√3 + 1)(8 + 2√12))/(16(√3 - 1))

Теперь мы можем упростить это выражение дальше, умножив числитель и знаменатель на сопряженное значение в знаменателе:

sin(105°)cos(15°)tg(75°) = ((√3 + 1)(8 + 2√12))/(16(√3 - 1)) * ((√3 + 1)/(√3 + 1)) sin(105°)cos(15°)tg(75°) =