Question

Знайдіть остачу від ділення многочлена P(x)=x+x^2+x^3+...+x^2015 на x^2-1

Answer 1

Ответ:

$1008x+1007$

Объяснение:

$P(x)=x+x^2+x^3+...+x^{2015}$

$P(-1)=-1+(-1)^2+...+(-1)^{2015}=-1+1-1+...+1-1=-1\Longrightarrow \\ P(x)=Q(x)\cdot(x+1)-1 \;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

$P(1)=1+1^2+...+1^{2015}=2015$

С другой стороны, согласно (1),

$P(1)=Q(1)\cdot (1+1)-1=2Q(1)-1\Longrightarrow\\ 2015=2Q(1)-1\Longrightarrow Q(1)=1008\Longrightarrow \\ Q(x)=L(x)\cdot (x-1)+1008\Longrightarrow \\ P(x)=(L(x)\cdot (x-1)+1008)(x+1)-1=L(x)\cdot (x^2-1)+1008x+1007$

А тогда искомый остаток равен  $1008x+1007$

________________

Использована теорема Безу

Answer 2

Щоб знайти остачу від ділення многочлена P(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^2015 на x^2 - 1, спочатку перевіримо, чи можна поділити x^2 - 1 на x. Якщо так, то остача буде 0.

x^2 - 1 можна поділити на x, оскільки x * x = x^2, та x * (-1) = -x, що дає x^2 - x, яке є тотожно рівним x^2 - 1 + (1 - x).

Отже, остача від ділення P(x) на x^2 - 1 дорівнює 1 - x.

Повідомлення українською мовою: Отже, остача від ділення многочлена P(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^2015 на x^2 - 1 дорівнює 1 - x.