Question

Докажите тождество (1+tg^2a)cos^4a+sin^2a=1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle (1+\tan^2a)\cos^4a+\sin^2a=\cos^4a+\tan^2a\cos^4a+\sin^2a=\cos^4a+\frac{\sin^2a}{\cos^2a}\cos^4a+\sin^2a=\cos^4a+\sin^2a\cos^2a+\sin^2a=\cos^2a(\cos^2a+\sin^2a)+\sin^2a=\cos^2a*1+\sin^2a=\cos^2a+\sin^2a=1$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества и преобразования:

1. Тождество Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
2. Тождество секанса: 1 + tan^2(a) = sec^2(a).
3. Тождество тангенса: tan^2(a) = sec^2(a) - 1.

Давайте начнем:

(1 + tan^2(a))cos^4(a) + sin^2(a)

Заменим tan^2(a) согласно тождеству тангенса:

(sec^2(a) - 1)cos^4(a) + sin^2(a)

Распределим cos^4(a) в первом слагаемом:

sec^2(a)cos^4(a) - cos^4(a) + sin^2(a)

Теперь заменим sec^2(a) согласно тождеству секанса:

cos^4(a)/cos^2(a) - cos^4(a) + sin^2(a)

Упростим выражение:

cos^2(a) - cos^4(a) + sin^2(a)

Используем тождество Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

(1 - cos^2(a)) + sin^2(a)

Теперь заменим 1 - cos^2(a) согласно тождеству Пифагора:

sin^2(a) + sin^2(a)

2sin^2(a)

Таким образом, мы получаем:

(1 + tan^2(a))cos^4(a) + sin^2(a) = 2sin^2(a)

Исходное тождество не выполняется. Поэтому данное тождество (1 + tan^2(a))cos^4(a) + sin^2(a) = 1 неверно.