Question

Найдите коэффициент при х3 в биномиальном разложении (1+2х)^4 помогите пожалуйста (ˉ▽ˉ；)...

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^4+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(1+2x)^4=.....+C_4^3\cdot 1\cdot (2x)^3+.....=...+\dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\cdot 8x^3+...=...+4\cdot 8x^3+...=\\\\=...+32x^3+...$

Коэффициент перед   $x^3$   равен 32 .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении (1+2x)^4 можно использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k", равный n! / (k! * (n-k)!).

В нашем случае (1+2x)^4 разлагается на:

C(4, 0) * 1^4 * (2x)^0 + C(4, 1) * 1^3 * (2x)^1 + C(4, 2) * 1^2 * (2x)^2 + C(4, 3) * 1^1 * (2x)^3 + C(4, 4) * 1^0 * (2x)^4.

Теперь найдем коэффициент при x^3, который соответствует члену C(4, 3) * 1^1 * (2x)^3:

C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4,

1^1 = 1,

(2x)^3 = 2^3 * x^3 = 8x^3.

Поэтому коэффициент при x^3 в разложении (1+2x)^4 равен 4 * 1 * 8 = 32.

Ответ: Коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (1+2x)^4 равен 32.