Question

Решите уравнение:2arctg^2x-5piarctgx+3pi^2=0​

Answer 1

$2 \arctg {}^{2} (x) - 5\pi \arctg(x) + 3\pi {}^{2} = 0$

Замена:

$\arctg(x) = t, \: t \in ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$

Получим уравнение:

$2 {t}^{2} - 5\pi t + 3\pi {}^{2} = 0 \\ D = ( - 5\pi) {}^{2} - 4 \times 2 \times 3\pi {}^{2} = 25 {\pi}^{2} - 24 {\pi}^{2} = {\pi}^{2} \\ \sqrt{D} = \pi \\ t_{1} = \frac{5\pi + \pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \\ t_{2} = \frac{5\pi - \pi}{4} = \pi$

Проверяем, попадают ли данные корни в ограничение:

$\frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_{1} \in \varnothing \\ \pi > \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_{2} \in \varnothing$

В итоге ни один корень не подошёл, поэтому исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: ∅

Answer 2

Данное уравнение квадратное относительно функции арктангенса (arctg). Давайте решим его.

Пусть $y = \arctan(x)$, тогда у нас есть следующее:

$y^2 = (\arctan(x))^2$ и $y = \arctan(x)$

Подставим это в данное уравнение:

$2y^2 - 5\pi y + 3\pi^2 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 5\pi y + 3\pi^2 = 0$

Решим это уравнение с помощью квадратного трёхчлена или квадратного уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 2$, $b = -5\pi$ и $c = 3\pi^2$. Подставим значения:

$y = \frac{5\pi \pm \sqrt{(-5\pi)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3\pi^2}}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{5\pi \pm \sqrt{25\pi^2 - 24\pi^2}}{4}$

$y = \frac{5\pi \pm \sqrt{\pi^2}}{4}$

$y = \frac{5\pi \pm \pi}{4}$

Таким образом, получаем два значения $y$:

1. $y = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$
2. $y = \frac{4\pi}{4} = \pi$

Теперь мы знаем значения $y$, но помним, что $y = \arctan(x)$. Поэтому, чтобы найти соответствующие значения $x$, возьмем тангенс от найденных $y$:

1. $x = \tan\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ - Тангенс не существует в этой точке.
2. $x = \tan(\pi) = 0$

Итак, уравнение имеет одно решение: $x = 0$.