Question

Даны две вершины треугольника ABC: A(-4,4), B(4,-12), и точка M(4,2) пересечения его высот. Найти вершину C.

Answer 1

Ответ:

vec(MC) = (x−4; y−2),

vec(AB) = (8; −16).

8(x−4) − 16(y−2) = 0.

vec(MB) = (0; −14),

vec(AC) = (x+4; y−4).

0(x+4) − 14(y−4) = 0.

{ 8(x−4) − 16(y−2) = 0,

{ 0(x+4) − 14(y−4) = 0.

8(x−4) = 16·2,

x−4 = 4,

x = 8.

Answer 2

Для нахождения вершины C треугольника ABC, мы можем воспользоваться свойствами пересечения высот треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре. Так как даны точки A, B и M, а точка M - это пересечение высот, мы можем воспользоваться этой информацией.

1. Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника. Для этого используем координаты точек A и B:

Уравнение прямой AB: AB: y - y₁ = m(x - x₁), где m - коэффициент наклона прямой, (x₁, y₁) - координаты точки A.

Сначала найдем m: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), где (x₂, y₂) - координаты точки B.

m = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -16 / 8 = -2

Теперь можем написать уравнение прямой AB: AB: y - 4 = -2(x + 4) AB: y = -2x - 4 + 4 AB: y = -2x

2. Найдем уравнение высоты, проходящей через точку M и перпендикулярной стороне AB.

Уравнение высоты, проходящей через точку M: M: y - y₃ = k(x - x₃), где k - коэффициент наклона высоты, (x₃, y₃) - координаты точки M.

Так как высота перпендикулярна стороне AB, то k будет обратным и противоположным к наклону AB: k = 1/2

Подставляем координаты точки M: M: y - 2 = 1/2(x - 4) M: y = 1/2x + 2

3. Теперь найдем точку пересечения прямой AB и высоты M. Решим систему уравнений AB и M:

-2x = 1/2x + 2

-2x - 1/2x = 2

-5/2x = 2

x = -4/5

Подставляем x в уравнение M: y = 1/2(-4/5) + 2 = -2/5 + 2 = 8/5

Таким образом, координаты вершины C треугольника ABC: C(-4/5, 8/5).