Question

1. Найдите коэффициент при x^3 в биномиальном разложении ( 1-2х)^4.

Answer 1

$\boxed{\ (a+b)^4=a^4+C_4^1a^3b+C_4^2a^2b^2+C_4^3ab^3+b^4\ }\\\\\\(1-2x)^4=(1+(-2x))^4=1^4+4\cdot 1^3\cdot (-2x)+6\cdot 1^2\cdot (-2x)^2+\underbrace {4\cdot 1\cdot (-2x)^3}_{-4\cdot 8\cdot x^3}+(-2x)^4\\\\\\u_4=-4\cdot 8\cdot x^3=-32x^3$

Коэффициент  при  $x^3$   равен   $-32$ .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении (1-2x)^4 мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула позволяет найти коэффициенты каждого члена разложения бинома.

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

(а + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n,

где C(n,k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" и вычисляется как C(n,k) = n! / (k! * (n - k)!), где ! обозначает факториал числа.

В нашем случае (1-2x)^4, a = 1, b = -2x и n = 4. Мы хотим найти коэффициент при x^3, поэтому нам нужно найти член с x^3 в разложении.

Используя формулу бинома Ньютона, мы можем записать:

(1-2x)^4 = C(4,0)(1^4)(-2x)^0 + C(4,1)(1^3)(-2x)^1 + C(4,2)(1^2)(-2x)^2 + C(4,3)(1^1)(-2x)^3 + C(4,4)(1^0)(-2x)^4.

Раскроем выражения:

(1-2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4.

Таким образом, коэффициент при x^3 в разложении (1-2x)^4 равен -32.