Question

Коэффициент при х^3 в разложении бинома Ньютона (1+2x)^4 равен

Answer 1

32x⁵-240x⁴+750x³-1080x²+810x-243

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении бинома Ньютона $(1+2x)^4$ можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n$,

где $\binom{n}{k}$ обозначает биномиальный коэффициент "n по k", равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $a = 1$, $b = 2x$, $n = 4$ (порядок разложения).

Мы ищем коэффициент при $x^3$, что означает, что второй член (с $k = 1$) в разложении будет содержать эту степень $x$. Таким образом, коэффициент при $x^3$ будет равен:

$\binom{4}{1} \cdot 1^{4-1} \cdot (2x)^1 = 4 \cdot 1 \cdot 2x = 8x$.

Итак, коэффициент при $x^3$ в разложении $(1+2x)^4$ равен $8x$.