Question

Помогите Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+py’+qy=f(x) y’’-2y’+5y=xe^2x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения общего решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

$y'' + py' + qy = f(x),$

где $p$ и $q$ - константы, а $f(x)$ - заданная функция, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Однако в данном случае давайте сначала решим частный случай этого уравнения:

$y'' - 2y' + 5y = xe^{2x}.$

Для этого предположим, что $y$ можно выразить как сумму двух частей: $y_h$, удовлетворяющей однородному уравнению $y'' - 2y' + 5y = 0$, и $y_p$, которая будет частным решением неоднородного уравнения $y'' - 2y' + 5y = xe^{2x}$.

1. Найдем общее решение однородного уравнения $y'' - 2y' + 5y = 0$. Характеристическое уравнение: $r^2 - 2r + 5 = 0$. Решая это уравнение, получаем комплексные корни $r = 1 \pm 2i$, где $i$ - мнимая единица. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_h(x) = e^x (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)),$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение $y_p$ для неоднородного уравнения $y'' - 2y' + 5y = xe^{2x}$ методом вариации постоянных. Предположим, что $y_p$ имеет вид:

$y_p(x) = u(x) e^{2x},$

где $u(x)$ - неизвестная функция. Подставим это в уравнение и найдем производные:

$y_p' = u' e^{2x} + 2u e^{2x},$ $y_p'' = u'' e^{2x} + 4u' e^{2x} + 4u e^{2x}.$

Подставляя эти выражения в уравнение и упрощая, получим:

$u'' e^{2x} + 2u' e^{2x} - 2u' e^{2x} - 4u e^{2x} + 5u e^{2x} = xe^{2x}.$

Сокращая одинаковые члены, получим:

$u'' e^{2x} + u e^{2x} = xe^{2x}.$

Теперь мы получили линейное неоднородное уравнение для функции $u(x)$. Решим это уравнение и найдем $u(x)$.

Интегрируя обе стороны уравнения два раза относительно $x$, получаем:

$u(x) = \frac{1}{5} \left(x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{8}{25}\right).$

Так как $y_p = u(x) e^{2x}$ 0 0