Question

Решите систему уравнения методом замены переменных: ( х - 1 ) ^2 +( х - у )^2 = 10 и ( х-1 )^2 - ( х - у )^2 = -5 помогите пожалуйста срочно!!!​

Answer 1

Решение:

( х - 1 ) ^2 +( х - у )^2 = 10

( х-1 )^2 - ( х - у )^2 = -5

( х - 1 ) ^2 +( х - у )^2 = 10

( х-1 )^2 +( х-1 )^2 = 5

2.5 +( х - у )^2 = 10

( х-1 )^2 = 2.5

2.5 +( х - у )^2 = 10

2x^2 - 4x + 2 = 5

( х - у )^2 = 7.5

2x^2 - 4x - 3 = 0

x^2 - 2xy + y^2 = 7.5

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

x^2 - 2xy + y^2 = 7.5

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

(1 + $\frac{\sqrt10}{2}$)^2 - 2(1 + $\frac{\sqrt10}{2}$)y + y^2 = 7.5

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

(1 - $\frac{\sqrt10}{2}$)^2 - 2(1 - $\frac{\sqrt10}{2}$)y + y^2 = 7.5

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

1 + $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - (2  + $\sqrt{10}$)y + y^2 = 7.5

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

1 - $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - (2  - $\sqrt{10}$)y + y^2 = 7.5

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

1 + $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 2y  - y$\sqrt{10}$ + y^2 = 7.5

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

1 - $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 2y  + y$\sqrt{10}$ + y^2 = 7.5

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y^2 - y(2  + $\sqrt{10}$) + 1 + $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 7.5 = 0

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y^2 - y(2  - $\sqrt{10}$) + 1 - $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 7.5 = 0

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y^2 - y(2  + $\sqrt{10}$) + 1 + $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 7.5 = 0

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y^2 - y(2  - $\sqrt{10}$) + 1 - $\sqrt{10}$ + $\frac{10}{4}$ - 7.5 = 0

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y1 = $\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{30} }{2}$

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y2 = $\frac{2 + \sqrt{10} - \sqrt{30} }{2}$

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y3 = $\frac{2 - \sqrt{10} + \sqrt{30} }{2}$

x3 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y4 = $\frac{2 - \sqrt{10} - \sqrt{30} }{2}$

x4 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y1 = $1 +\sqrt{\frac{5}{2} } + \sqrt{\frac{15}{2} }$

x1 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y2 = $1 +\sqrt{\frac{5}{2} } - \sqrt{\frac{15}{2} }$

x2 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

y3 = $1 -\sqrt{\frac{5}{2} } + \sqrt{\frac{15}{2} }$

x3 = 1 + $\frac{\sqrt10}{2}$

y4 = $1 -\sqrt{\frac{5}{2} } - \sqrt{\frac{15}{2} }$

x4 = 1 - $\frac{\sqrt10}{2}$

Ответ запишем в виде координат точек

Ответ:

(1 + $\frac{\sqrt10}{2}$ ; $1 +\sqrt{\frac{5}{2} } + \sqrt{\frac{15}{2} }$)

(1 - $\frac{\sqrt10}{2}$ ; $1 +\sqrt{\frac{5}{2} } - \sqrt{\frac{15}{2} }$)

(1 + $\frac{\sqrt10}{2}$ ; $1 -\sqrt{\frac{5}{2} } + \sqrt{\frac{15}{2} }$)

(1 - $\frac{\sqrt10}{2}$ ; $1 -\sqrt{\frac{5}{2} } - \sqrt{\frac{15}{2} }$)

Answer 2

Конечно, давайте решим эту систему уравнений методом замены переменных. Дана система уравнений:

1. $(x - 1)^2 + (x - y)^2 = 10$
2. $(x - 1)^2 - (x - y)^2 = -5$

Давайте обозначим $a = x - 1$ и $b = x - y$. Теперь мы можем переписать систему уравнений в терминах новых переменных:

1. $a^2 + b^2 = 10$
2. $a^2 - b^2 = -5$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений относительно переменных $a$ и $b$. Мы можем решить второе уравнение относительно $b^2$:

$b^2 = a^2 + 5$

Теперь подставим это значение $b^2$ в первое уравнение:

$a^2 + (a^2 + 5) = 10$

Упростим уравнение:

$2a^2 + 5 = 10$

Теперь выразим $a^2$:

$2a^2 = 5$

$a^2 = \frac{5}{2}$

$a = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Так как $a = x - 1$, мы можем получить два возможных значения для $x$:

1. $x - 1 = \sqrt{\frac{5}{2}}$ => $x = 1 + \sqrt{\frac{5}{2}}$
2. $x - 1 = -\sqrt{\frac{5}{2}}$ => $x = 1 - \sqrt{\frac{5}{2}}$

Теперь вернемся к уравнению $b^2 = a^2 + 5$ и подставим значения $a$ из обоих случаев:

1. $b^2 = \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 + 5$ => $b^2 = \frac{5}{2} + 5$
2. $b^2 = \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 + 5$ => $b^2 = \frac{5}{2} + 5$

В обоих случаях получается $b^2 = \frac{15}{2}$, что означает, что у нас есть два возможных значения для $b$:

1. $b = \sqrt{\frac{15}{2}}$
2. $b = -\sqrt{\frac{15}{2}}$