Question

Решите неравенство методом интервала: х³-2х²+х>0 ​

Answer 1

x³ - 2x² + x > 0

x(x² - 2x + 1) > 0

x(x - 1)² > 0

      -             +            +

_______₀______₀______

              0             1

              /////////////   ////////////

Ответ : x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞ )

Answer 2

Для решения данного неравенства $x^3 - 2x^2 + x > 0$, следует использовать метод интервалов. Вам понадобится найти значения $x$, при которых выражение меняет знак.

1. Начнем с нахождения корней уравнения $x^3 - 2x^2 + x = 0$. Для этого факторизуем его: $x(x^2 - 2x + 1) = 0$. Получаем два корня: $x = 0$ и $x^2 - 2x + 1 = 0$, что эквивалентно $(x - 1)^2 = 0$, откуда $x = 1$ (двукратный корень).

2. Теперь определим интервалы, на которых выражение $x^3 - 2x^2 + x$ положительно (больше нуля) и интервалы, на которых оно отрицательно (меньше нуля).

   • Интервал между $-\infty$ и 0: Выбираем $x = -1$. Подставляем в выражение: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - 1 = -1 - 2 - 1 = -4$, что меньше нуля.
   • Интервал между 0 и 1: Выбираем $x = \frac{1}{2}$. Подставляем: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$, что равно нулю.
   • Интервал после 1: Выбираем $x = 2$. Подставляем: $2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$, что больше нуля.

3. Итак, мы видим, что выражение $x^3 - 2x^2 + x$ положительно на интервалах $(1, +\infty)$ и отрицательно на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$.

Следовательно, решением неравенства $x^3 - 2x^2 + x > 0$ является интервал $(1, +\infty)$.