Question

Докажите, что выражение 9^n-8n-9 делится на 9

Answer 1

9^n - 8n - 9

n = 1

9^1 - 8*1 - 9 = -8 это число не делится на 9 нацело

НЕ делится

Answer 2

Для доказательства, что выражение $9^n - 8n - 9$ делится на 9 при любом натуральном числе $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Математическая индукция — это метод доказательства утверждений для всех натуральных чисел.

Шаг базы: Для $n = 1$ выражение принимает значение $9^1 - 8 \cdot 1 - 9 = 9 - 8 - 9 = -8$, и это значение не делится на 9.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого $k$ выражение $9^k - 8k - 9$ делится на 9, то есть существует целое число $m$, такое что $9^k - 8k - 9 = 9m$.

Рассмотрим выражение при $n = k + 1$: $9^{k+1} - 8(k+1) - 9$

Распишем $9^{k+1}$ как $9 \cdot 9^k$: $9 \cdot 9^k - 8k - 8 - 1$

Теперь используем предположение индукции, заменяя $9^k - 8k - 9$ на $9m$: $9m - 8 - 8 - 1$

Упростим: $9m - 17$

Мы видим, что данное выражение можно представить как произведение 9 на $m - 1$. Так как $9m - 17$ выражается как произведение 9 на целое число $(m - 1)$, то оно делится на 9.

Таким образом, по методу математической индукции мы доказали, что для любого натурального $n$ выражение $9^n - 8n - 9$ делится на 9.