Question

Существует ли простое число вида 81а^4+64, где а-целое число?

Answer 1

Ответ:

Число k должно иметь вид = 5(2n+1), то есть 5 умножается на нечетное. Например, = 5; k*4 + 64 = 5*4 + 64 = 625 + 64 = 689 = 13*53 Хотя доказать это не просто.

Answer 2

Вы ищете простое число вида $81a^4 + 64$, где $a$ - целое число. Давайте попробуем разобраться.

Мы видим, что данное выражение может быть записано как сумма двух кубов:

$81a^4 + 64 = (3a^2)^3 + 4^3.$

Это является суммой кубов, которая может быть факторизована согласно специальной формуле:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$

Применяя эту формулу к нашему выражению, мы имеем:

$81a^4 + 64 = (3a^2 + 4)((3a^2)^2 - 3a^2 \cdot 4 + 4^2) = (3a^2 + 4)(9a^4 - 12a^2 + 16).$

Теперь мы видим, что выражение $9a^4 - 12a^2 + 16$ представляет собой квадрат с квадратным корнем $3a^2 - 4$. Таким образом, если $3a^2 + 4$ равно 1 или -1, то $81a^4 + 64$ будет равно простому числу (так как 1 и -1 не считаются простыми числами).

Однако в общем случае $3a^2 + 4$ может быть больше 1 или -1, и поэтому это выражение не обязательно будет простым числом.

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что $81a^4 + 64$ будет простым числом для любого целого числа $a$.