Question

Решите квадратные неравенства 3 x квадрате минус 5 Икс плюс 2 больше или равно нулю​

Answer 1

3x² - 5x + 2 ≥ 0.

Рассмотрим квадратичную функцию у = 3x² - 5x + 2 и выясним, где эта функция принимает неотрицательные значения, т.е. у ≥ 0. Найдем нули функции:

3x² - 5x + 2 = 0,

D = 25 - 4 · 2 · 3 = 25 - 24 = 1; √1 = 1;

x₁ = (5 - 1)/(2 · 3) = 4/6 = 2/3,

x₂ = (5 + 1)/(2 · 3) = 6/6 = 1.

Построим схематически график функции у = 3х² - 5x + 2 (см. рисунок.)

Значит, у ≥ 0, если x є (-∞; 2/3] ∪ [1; +∞).

Ответ: (-∞; 2/3] ∪ [1; +∞).

Answer 2

Чтобы решить квадратное неравенство $3x^2 - 5x + 2 \geq 0$, мы можем воспользоваться методом интервалов или графическим методом, или же решить его алгебраически. Давайте решим его алгебраически.

1. Начнем с факторизации левой стороны неравенства: $3x^2 - 5x + 2 = (3x - 2)(x - 1)$.

2. Теперь определим значения $x$, при которых выражение $(3x - 2)(x - 1)$ равно нулю: $3x - 2 = 0$ или $x - 1 = 0$.

   Решая каждое уравнение по отдельности, получаем: $3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$, $x = 1$.

3. Теперь мы знаем, что выражение $(3x - 2)(x - 1)$ равно нулю при $x = \frac{2}{3}$ и $x = 1$. Эти точки разбивают весь диапазон значений $x$ на три интервала: $(-\infty, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, 1)$ и $(1, +\infty)$.

4. Выберем по одной точке из каждого интервала и проверим значение выражения $(3x - 2)(x - 1)$ в этой точке, чтобы определить знак выражения в каждом интервале.

   • Если $x = 0$, то $(3(0) - 2)(0 - 1) = (-2)(-1) = 2 > 0$ (положительное).
   • Если $x = \frac{3}{4}$, то $(3\left(\frac{3}{4}\right) - 2)\left(\frac{3}{4} - 1\right) = \left(\frac{9}{4} - 2\right)\left(-\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{16} < 0$ (отрицательное).
   • Если $x = 2$, то $(3(2) - 2)(2 - 1) = (6 - 2)(1) = 4 > 0$ (положительное).

5. Теперь мы знаем знак выражения $(3x - 2)(x - 1)$ в каждом из трех интервалов:

   • $(-\infty, \frac{2}{3})$ : отрицательное (-)
   • $(\frac{2}{3}, 1)$ : положительное (+)
   • $(1, +\infty)$ : положительное (+)

6. Чтобы найти решение исходного неравенства $3x^2 - 5x + 2 \geq 0$, мы должны найти интервалы, в которых выражение положительное ($+$), так как нам нужно, чтобы $3x^2 - 5x + 2$ было больше или равно нулю. Из пункта 5 видно, что интервалы $(\frac{2}{3}, 1)$ и $(1, +\infty)$ удовлетворяют этому условию.

Таким образом, решением квадратного неравенства $3x^2 - 5x + 2 \geq 0$ является: $x \in \left(\frac{2}{3}, 1\right] \cup (1, +\infty)$