Question

Решите уравнение Y'=x² ∛у

Answer 1

Ответ:

  $y'=x^2\cdot \sqrt[3]{y}\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=x^2\cdot \sqrt[3]{y}\\\\\\\int \dfrac{dy}{\sqrt[3]{y}}=\int x^2\, dx\\\\\\\dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{x^3}{3}+C\\\\\\\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{y^2}=\dfrac{x^3}{3}+C\\\\\\y=\sqrt{\Big(\dfrac{2x^3}{9}+C\Big)^3}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

dy/dx = x^2 * ∛y

Давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения и все члены, содержащие x, на другую сторону:

(1/∛y) dy = x^2 dx

Теперь интегрируем обе стороны. Сначала проинтегрируем левую сторону:

∫(1/∛y) dy = ∫x^2 dx

Чтобы проинтегрировать левую сторону, воспользуемся заменой переменных. Пусть z = ∛y. Тогда dz/dy = (1/3)y^(-2/3), или dy = 3z^2 dz. Подставим это в интеграл:

∫(1/z) * 3z^2 dz = 3∫z dz = 3/2 * z^2 + C1

Теперь интегрируем правую сторону:

∫x^2 dx = (x^3)/3 + C2

Итак, мы получили два интеграла:

3/2 * z^2 + C1 = (x^3)/3 + C2

Теперь мы можем вернуться к переменной y, используя замену z = ∛y:

3/2 * (∛y)^2 + C1 = (x^3)/3 + C2

3/2 * y^(2/3) + C1 = (x^3)/3 + C2

Теперь мы можем найти константы C1 и C2, если у нас есть начальные условия или дополнительная информация. Если необходимо, вы можете продолжить упрощение этого уравнения или использовать его в данной форме.