Question

Помогите решить уравнение: cos7x + cosx = 4cos4x

Answer 1

Ответ:

X=15cos

Объяснение:

Answer 2

Давайте попробуем решить данное уравнение. Уравнение, которое вам дано:

cos(7x) + cos(x) = 4cos(4x)

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для косинуса:

cos(7x) = cos(3x + 4x) = cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x)

cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)

Теперь мы можем заменить эти выражения в исходном уравнении:

(cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x)) + cos(x) = 4(cos^2(2x) - sin^2(2x))

Давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

1. Раскроем скобки:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 4cos^2(2x) - 4sin^2(2x)

2. Теперь воспользуемся формулами для синуса и косинуса двойного угла:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

3. Заменим sin^2(2x) и cos^2(2x) в уравнении:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 4(2cos^2(x) - 1) - 4(2sin(x)cos(x))^2

4. Упростим:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 8cos^2(x) - 4 - 16sin^2(x)cos^2(x)

5. Теперь заметим, что у нас есть и cos^2(x) и sin^2(x) в выражении, которые можно заменить следующим образом:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь мы можем заменить их в уравнении:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 8(1 - sin^2(x)) - 4 - 16sin^2(x)(1 - sin^2(x))

6. Упростим дальше:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 8 - 8sin^2(x) - 4 - 16sin^2(x) + 16sin^4(x)

7. Подсчитаем все слагаемые и упростим:

cos(3x)cos(4x) - sin(3x)sin(4x) + cos(x) = 12sin^4(x) - 8sin^2(x) + 4

Теперь у нас есть уравнение вида:

12sin^4(x) - 8sin^2(x) + 4 = 0

Давайте обозначим sin^2(x) как y:

12y^2 - 8y + 4 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(12)(4) = 64 - 192 = -128

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней для y. Следовательно, исходное уравнение cos(7x) + cos(x) = 4cos(4x) не имеет действительных решений для x.