Question

Найдите производную 1) x^3+xy^2+y^3=0 2) y=(sin3x)^arccosx 3) система из x=6cos^3 t y=2sin^3 t 4) z=y^arcsin((2y+1)/3)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте найдем производные для каждого из уравнений:

1. $x^3 + xy^2 + y^3 = 0$

Для нахождения производных по $x$ и $y$ используем неявное дифференцирование:

$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(0)$

$3x^2 + y^2\frac{dx}{dx} + 2xy\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

Упростим:

$3x^2 + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - y^2}{2xy + 3y^2}$

2. $y = (\sin(3x))^{\arccos(x)}$

Для нахождения производной $y$ по $x$, используем правило дифференцирования сложной функции:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{\arccos(x)}\right]$

Применяем правило цепочки (chain rule):

$\frac{dy}{dx} = \left[\arccos(x)\right] \cdot \frac{d}{dx}\left[\sin(3x)\right] + (\sin(3x))^{\arccos(x)} \cdot \frac{d}{dx}\left[\arccos(x)\right]$

$\frac{dy}{dx} = \arccos(x) \cdot 3\cos(3x) - (\sin(3x))^{\arccos(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. Система уравнений $x = 6\cos^3(t)$ и $y = 2\sin^3(t)$.

Для нахождения производных $x$ и $y$ по $t$, используем правило дифференцирования функций сложного аргумента:

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left[6\cos^3(t)\right] = -18\cos^2(t)\sin(t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left[2\sin^3(t)\right] = 6\sin^2(t)\cos(t)$