Question

Найти точки экстремума F(x)=(3x^5)-(50x^3)+135x+4

Answer 1

Ответ: на фото

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции $F(x) = 3x^5 - 50x^3 + 135x + 4$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $F(x)$.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Определите характер точек экстремума с помощью второй производной или теста на касательные.

Шаг 1: Найдем производную $F(x)$: $F'(x) = 15x^4 - 150x^2 + 135$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: $15x^4 - 150x^2 + 135 = 0$

Вы можете упростить это уравнение, разделив все его члены на 15: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Теперь давайте введем замену: $y = x^2$, и уравнение примет вид: $y^2 - 10y + 9 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации: $(y - 9)(y - 1) = 0$

Таким образом, получаем два значения $y$: $y = 9$ и $y = 1$. Теперь вернемся к переменной $x$:

1. $y = x^2 = 9$, отсюда $x = \pm 3$.
2. $y = x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$.

Итак, у нас есть четыре критические точки: $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$.

Шаг 3: Определим характер точек экстремума с помощью второй производной. Для этого найдем вторую производную $F''(x)$: $F''(x) = 60x^3 - 300x$

Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную:

1. $x = -3$: $F''(-3) = 60(-3)^3 - 300(-3) = -540 - (-900) = 360$. Здесь $F''(-3)$ положительная, следовательно, у точки $x = -3$ есть минимум.
2. $x = -1$: $F''(-1) = 60(-1)^3 - 300(-1) = -60 + 300 = 240$. Здесь $F''(-1)$ также положительная, следовательно, у точки $x = -1$ есть минимум.
3. $x = 1$: $F''(1) = 60(1)^3 - 300(1) = 60 - 300 = -240$. Здесь $F''(1)$ отрицательная, следовательно, у точки $x = 1$ есть максимум.
4. $x = 3$: $F''(3) = 60(3)^3 - 300(3) = 540 - 900 = -360$. Здесь $F''(3)$ также отрицательная, следовательно, у точки $x = 3$ есть максимум.

Итак, мы нашли точки экстремума функции $F(x)$:

• Минимумы: $x = -3$ и $x = -1$.
• Максимумы: $x = 1$ и $x = 3$.