Question

Решите квадратные уравнения: 1) с использованием формул полного дискриминанта 7х^2−х−8=0 2) с использованием формул половинного дискриминанта 3х^2−10х+3=0 3) найти корни подбором, используя теорему, обратную теореме Виета х^2−14х+48=0

Answer 1

Решение:

1) с использованием формул полного дискриминанта

7х² − х − 8 = 0

D = b² - 4ac = (-1)² - 4•7•(-8) = 1 + 224 = 225

x1 = (-b + √D)/(2a) = (1+15)/14 = 8/7 = 1 1/7!

x2 = (-b - √D)/(2a) = (1-15)/14 = - 14/14 = - 1.

Ответ: - 1; 1 1/7.

2) с использованием формул половинного дискриминанта

3х² − 10х + 3 = 0

Если в уравнении ax2 + bx + c = 0

торой коэффициент b = 2k и является чётным, то дискриминант такого уравнения  D1 = k2 − ac, а корни

х= (- k ± √D1)/a.

В нашем случае k = - 5,

D1 = 25 - 9 = 16

х= (5 ± √16)/3 = (5±4)/3

x1 = 1/3

x2 = 9/3 = 3.

Ответ: 1/3; 3.

3) найти корни подбором, используя теорему, обратную теореме Виета

х² − 14х + 48 = 0

D = 196-192 > 0, уравнение имеет два корня.

Их произведение равно с/а = 48, а их сумма равна - b/a = 14.

{x1 • x2 = 48,

{x1 + x2 = 14.

такими числами являются 6 и 8. они и являются корнями уравнения.

Ответ: 6; 8.

Answer 2

Давайте решим каждое квадратное уравнение поочередно с использованием указанных методов:

1. С использованием формулы полного дискриминанта:

У нас есть уравнение 7x^2 - x - 8 = 0. Формула полного дискриминанта имеет вид:

D = b^2 - 4ac,

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Для данного уравнения:

a = 7, b = -1, c = -8.

Теперь вычислим дискриминант:

D = (-1)^2 - 4 * 7 * (-8) = 1 + 224 = 225.

Теперь мы можем найти корни уравнения:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (1 + √225) / (2 * 7) = (1 + 15) / 14 = 16/14 = 8/7,

x2 = (-b - √D) / (2a) = (1 - √225) / (2 * 7) = (1 - 15) / 14 = -14/14 = -1.

Итак, корни уравнения 7x^2 - x - 8 = 0: x1 = 8/7 и x2 = -1.

2. С использованием формулы половинного дискриминанта:

У нас есть уравнение 3x^2 - 10x + 3 = 0. Половинный дискриминант вычисляется следующим образом:

D/4 = (b^2 - 4ac) / 4,

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Для данного уравнения:

a = 3, b = -10, c = 3.

Теперь вычислим половинный дискриминант:

D/4 = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.

Теперь мы можем найти корни уравнения:

x1 = (10 + √(D/4)) / (2a) = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 18/6 = 3,

x2 = (10 - √(D/4)) / (2a) = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 2/6 = 1/3.

Итак, корни уравнения 3x^2 - 10x + 3 = 0: x1 = 3 и x2 = 1/3.

3. Найдем корни уравнения х^2 - 14x + 48 = 0 методом подбора, используя теорему, обратную теореме Виета. Эта теорема гласит, что если у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2, то сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Для данного уравнения:

a = 1, b = -14, c = 48.

Сначала найдем сумму корней:

x1 + x2 = -b/a = -(-14)/1 = 14.

Теперь найдем произведение корней:

x1 * x2 = c/a = 48/1 = 48.

Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 14 и в произведении дают 48. Эти числа 6 и 8.

Теперь мы можем записать корни уравнения:

x1 = 6, x2 = 8.

Итак, корни уравнения x^2 - 14x + 48 = 0: x1 = 6 и x2 = 8.