Question

Множество состоит из различных натуральных чисел. Известно, что произведение двух его наибольших элементов равно произведению двух его наименьших элементов и равно 2020. Сколько таких множеств существует, при условии, что они содержат более одного элемента?

Answer 1

Ответ: 6 множеств

Объяснение:

1. Покажем, что наше множество не может содержать более 2 элементов. В самом деле, если множество содержит три элемента, то после упорядочивания по возрастанию получим:

a<b<c,

причём по условию ab=bc, отсюда a=c, что невозможно ввиду неравенства a<c. Если же множество содержит не менее четырёх элементов, то выделим в нём два наименьших и два наибольших, тогда после упорядочивания по возрастанию получим:

a<b<…<c<d,

причём ab=cd, но такое равенство невозможно, поскольку a<c и b<d. Следовательно, наше множество содержит 2 элемента.

 2. Таким образом, задача свелась к подсчёту числа решений уравнения:

ab=2020, a<b.

Поскольку 2020 не является полным квадратом, то это число есть в точности половина делителей числа 2020, то есть 6.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Пусть наше множество состоит из различных натуральных чисел и содержит более одного элемента. Мы знаем, что произведение двух наибольших элементов множества равно произведению двух наименьших элементов множества и равно 2020.

2020 = 2^2 * 5 * 101

Теперь мы можем попытаться разложить 2020 на два различных способа в виде произведения двух чисел, так как наше множество содержит более одного элемента:

1. 2020 = 1 * 2020
2. 2020 = 2 * 1010
3. 2020 = 4 * 505
4. 2020 = 5 * 404
5. 2020 = 10 * 202
6. 2020 = 20 * 101

Теперь, для каждой пары, давайте рассмотрим возможные множества:

1. Множество будет {1, 2020}, но оно не подходит, так как содержит только два элемента.
2. Множество будет {2, 1010}, но оно также не подходит, так как содержит только два элемента.
3. Множество будет {4, 505}, и оно подходит.
4. Множество будет {5, 404}, и оно подходит.
5. Множество будет {10, 202}, и оно подходит.
6. Множество будет {20, 101}, но оно также не подходит, так как содержит только два элемента.

Итак, у нас есть три подходящих множества: {4, 505}, {5, 404}, и {10, 202}. Таким образом, существует три множества, удовлетворяющих условиям задачи и содержащих более одного элемента.