Question

Розвяжіть нерівність 4) 5x (x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30; 5) (3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5)> 30;​

Answer 1

$5x(x+4)-(2x-3)(2x+3)>30\\\\\\5x^2+20x-(4x^2-9)>30\\\\\\5x^2+20x-4x^2+9>30\\\\\\x^2+20x+9>30\\\\\\x^2+20x+9-30>0\\\\\\x^2+20x-21>0\\\\\\x^2+20x-21=0\\\\\\D=20^2-4\cdot(-21)=400+84=484=22^2\\\\\\x_1=\dfrac{-20-22}{2}=\dfrac{-42}{2}=-21\\\\\\x_2=\dfrac{-20+22}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\\\\+++(-21)---(1)+++>\\\\\\\boxed{x\in(\ -\infty\ ;\ -21\ )\ \cup\ (\ 1\ ;\ +\infty\ )}$

=================================

$(3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5)>30\\\\\\(3x^2+6x-7x-14)-(x^2+5x-4x-20)>30\\\\\\3x^2+6x-7x-14-x^2-5x+4x+20>30\\\\\\2x^2-2x+6-30>0\\\\\\2x^2-2x-24>0\ \ \mid\div2\\\\\\x^2-x-12=0\\\\\\D=1+4\cdot12=1+48=49=7^2\\\\\\x_1=\dfrac{1-7}{2}=-\dfrac{6}{2}=-3\\\\\\x_2=\dfrac{1+7}{2}=\dfrac{8}{2}=4\\\\\\+++(-3)---(4)+++>\\\\\\\boxed{x\in(-\infty;-3)\cup(4;+\infty)}$

Answer 2

Давайте розв'яжемо нерівності одну за одною.

4. 5x(x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30:

Розгорнемо добуток і скоротимо вираз:

5x^2 + 20x - (4x^2 - 9) > 30

Тепер віднімемо 30 від обох боків:

5x^2 + 20x - 4x^2 + 9 - 30 > 0

Редагуємо вираз:

x^2 + 20x - 21 > 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність. Давайте знайдемо її розв'язки. Спершу знайдемо корені рівняння, що виникає, коли нерівність рівна 0:

x^2 + 20x - 21 = 0

Для цього можна використовувати квадратне рівняння. Знаходимо два корені:

x1 = (-20 + √(20^2 - 4 * 1 * (-21))) / (2 * 1) ≈ -0.4472 x2 = (-20 - √(20^2 - 4 * 1 * (-21))) / (2 * 1) ≈ -39.5528

Це розділяє числову пряму на три інтервали: (-нескінченність, -39.5528), (-39.5528, -0.4472), (-0.4472, +нескінченність).

Тепер оберемо точку з кожного інтервалу і підставимо її в нерівність, щоб визначити знак виразу на кожному інтервалі.

1. Виберемо x = -40 (виберемо точку з першого інтервалу): x^2 + 20x - 21 > 0 (-40)^2 + 20 * (-40) - 21 > 0 1600 - 800 - 21 > 0 779 > 0 (правда)

2. Виберемо x = -1 (виберемо точку з другого інтервалу): x^2 + 20x - 21 > 0 (-1)^2 + 20 * (-1) - 21 > 0 1 - 20 - 21 > 0 -40 > 0 (неправда)

3. Виберемо x = 0 (виберемо точку з третього інтервалу): x^2 + 20x - 21 > 0 (0)^2 + 20 * (0) - 21 > 0 -21 > 0 (неправда)

Отже, нерівність x^2 + 20x - 21 > 0 виконується на інтервалах (-нескінченність, -39.5528) і (-0.4472, +нескінченність).

5. (3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5) > 30:

Розгорнемо добуток і скоротимо вираз:

3x^2 - x - 14 - (x^2 + x - 20) > 30

Тепер віднімемо 30 від обох боків:

3x^2 - x - 14 - x^2 - x + 20 > 0

Редагуємо вираз:

2x^2 - 2x + 6 > 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність. Давайте знайдемо її розв'язки. Спершу знайдемо корені рівняння, що виникає, коли нерівність рівна 0:

2x^2 - 2x + 6 = 0

Для цього можна використовувати квадратне рівняння. Знаходимо два корені:

x1 = (-(-2) + √((-2)^2 - 4 * 2 * 6)) / (2 * 2) ≈ 1 + 2.4495i x2 = (-(-2) - √((-2)^2 - 4 * 2 * 6)) / (2 * 2) ≈ 1 - 2.4495i

Ця нерівність не має розв'язків в дійсних числах, оскільки дискримінант від'ємний. Таким чином, вона не має розв'язків на числовій прямій.