Question

Дам 15 баллов. Найдите точки экстремума и постройте график функций: y=x^4-4x^3+4x^2

Answer 1

точки экстремума :

х min нет

х max 1

y min нет

y max нет

скорее всего так...

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции и построения её графика, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = x^4 - 4x^3 + 4x^2.
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы найти кандидатов на экстремумы.
3. Проверим, являются ли эти точки минимумами или максимумами с помощью второй производной.
4. Построим график функции, чтобы визуализировать результаты.

1. Найдем производную функции:

y'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x

2. Найдем точки, где производная равна нулю:

4x^3 - 12x^2 + 8x = 0

3. Найдем вторую производную функции:

y''(x) = 12x^2 - 24x + 8

Теперь, чтобы определить, являются ли точки, в которых производная равна нулю, минимумами или максимумами, нам нужно анализировать вторую производную:

• Если y''(x) > 0, то это минимум.
• Если y''(x) < 0, то это максимум.

4. Решение уравнения 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0:

4x(x^2 - 3x + 2) = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

4x(x - 1)(x - 2) = 0

Отсюда получаем три кандидата на экстремум: x = 0, x = 1 и x = 2.

Теперь, проверим их с помощью второй производной:

• При x = 0: y''(0) = 120^2 - 240 + 8 = 8 > 0 Это минимум.

• При x = 1: y''(1) = 121^2 - 241 + 8 = -4 < 0 Это максимум.

• При x = 2: y''(2) = 122^2 - 242 + 8 = 16 > 0 Это минимум.

Итак, у нас есть два минимума (x = 0 и x = 2) и один максимум (x = 1).

Теперь построим график функции y = x^4 - 4x^3 + 4x^2, чтобы визуализировать результаты:

(Я не могу построить графики в текстовом формате, но вы можете воспользоваться программой для построения графиков, такой как Excel, Desmos, Geogebra или любой другой аналогичной программой, чтобы построить график этой функции.)

На графике вы увидите, что функция имеет локальные минимумы в точках x = 0 и x = 2, и локальный максимум в точке x = 1.