Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+4 y=0 ось Ox​

Answer 1

Ответ:

$10\frac{2}{3}$

Объяснение:

Найдем пересечение этих двух графиков.

Решим уравнение

4-x²=0

x²=4

x₁,₂=±2.

Построим графики функций и закрасим область, которую надо найти зеленым.

Найдем подынтегральную область

$\int\limits^{-2}_2 {(4-x^2)} \, dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=4*2-\frac{2^3}{3}-\left(4*(-2)-\frac{(-2)^3}{3}\right)=8-\frac{8}{3}+8-\frac{2^3}{3}=\\=16-\frac{16}{3}=16*\frac{2}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x^2 + 4, осью Ox и линией y = 0, вам нужно вычислить определенный интеграл от функции y = -x^2 + 4 от x = a до x = b, где a и b - это x-координаты точек пересечения кривой y = -x^2 + 4 с линией y = 0. То есть, вам нужно найти значения a и b, а затем вычислить следующий интеграл:

$\int_{a}^{b} (-x^2 + 4) \, dx$

Сначала найдем точки пересечения кривой y = -x^2 + 4 с линией y = 0:

• Положим -x^2 + 4 равным нулю и решим уравнение:

  $-x^2 + 4 = 0$

  При этом получаем:

  $x^2 = 4$

  $x = \pm 2$

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = -2 и x = 2. Теперь вычислим площадь фигуры:

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx$

Давайте проинтегрируем это выражение:

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 4x \right]_{-2}^{2}$

Теперь вычислим значения в точках 2 и -2 и вычтем значение в точке -2 из значения в точке 2:

$\left[ -\frac{1}{3}(2^3) + 4(2) \right] - \left[ -\frac{1}{3}(-2^3) + 4(-2) \right]$

$\left[ -\frac{8}{3} + 8 \right] - \left[ -\frac{8}{3} - 8 \right]$

Теперь вычислим каждое из этих выражений:

$\left[ \frac{16}{3} \right] - \left[ \frac{-16}{3} \right]$

$\frac{16}{3} + \frac{16}{3}$

$\frac{32}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x^2 + 4, осью Ox и линией y = 0, равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.