Question

Выполните замену переменной и решите уравнение (7х-2)²-12|7х-2|-28=0 помогите пожалуйста​

Answer 1

$(7x-2)^2 - 12\cdot |7x-2| - 28 = 0$

$|7x-2| = t$

$(7x-2)^2 = |7x-2|^2 = t^2$

$t^2 - 12t - 28 = 0$

$D = 12^2 - 4\cdot 1\cdot (-28) = 144 + 80 + 32 = 256 = 16^2$

$t = \frac{12\pm 16}{2} = 6\pm 8$

$t_1 = 6 - 8 = -2$

$t_2 = 6+8 = 14$

1) |7x-2| = -2, здесь решений нет поскольку |7x-2| ≥ 0.

2) |7x-2| = 14,

7x - 2 = -14 или 7x-2 = 14

7x = 2-14 или  7x = 2+14

7x = -12  или 7x = 16

$x_1 = -\frac{12}{7}$ или $x_2 = \frac{16}{7}$

Answer 2

Давайте выполним замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = 7x - 2$, тогда уравнение примет следующий вид:

$(y^2 - 12|y| - 28) = 0$

Теперь давайте разберемся с модулем. Мы знаем, что $|y| = y$ для $y \geq 0$ и $|y| = -y$ для $y < 0$. Рассмотрим оба случая:

1. Если $y \geq 0$, то у нас есть:

$(y^2 - 12y - 28) = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

$y^2 - 12y - 28 = 0$

Факторизуем его или воспользуемся квадратным уравнением:

$(y - 14)(y + 2) = 0$

Теперь у нас есть два решения:

a) $y - 14 = 0$ или $y = 14$

b) $y + 2 = 0$ или $y = -2$

2. Если $y < 0$, то у нас есть:

$(y^2 + 12y - 28) = 0$

Опять же, решим это квадратное уравнение:

$y^2 + 12y - 28 = 0$

Факторизуем или воспользуемся квадратным уравнением:

$(y + 14)(y - 2) = 0$

Теперь у нас есть два решения:

a) $y + 14 = 0$ или $y = -14$

b) $y - 2 = 0$ или $y = 2$

Теперь мы нашли четыре решения для $y$: $y = 14$, $y = -2$, $y = -14$, и $y = 2$.

Напомним, что мы ввели замену переменной $y = 7x - 2$. Теперь мы можем найти соответствующие значения для $x$:

1. $7x - 2 = 14$: Решая это уравнение, получаем $7x = 16$, и, следовательно, $x = \frac{16}{7}$.

2. $7x - 2 = -2$: Решая это уравнение, получаем $7x = 0$, и, следовательно, $x = 0$.

3. $7x - 2 = -14$: Решая это уравнение, получаем $7x = -12$, и, следовательно, $x = -\frac{12}{7}$.

4. $7x - 2 = 2$: Решая это уравнение, получаем $7x = 4$, и, следовательно, $x = \frac{4}{7}$.

Итак, у нас есть четыре решения для $x$:

1. $x = \frac{16}{7}$
2. $x = 0$
3. $x = -\frac{12}{7}$
4. $x = \frac{4}{7}$