Question

Введите все значения, которые может принимать НОД(21n−4,14n+3) для натурального n.

Answer 1

пусть d - один из значений НОД

тогда найдутся x и y такие

21n - 4 = xd

14n + 3 = yd

42n - 8 = 2xd

42n + 9 = 3yd

17 = d(3y - 2x)

17/d = 3y - 2x

3y - 2x целое

значит d = 1 , 17

Answer 2

Ответ:

1 ; 17

Объяснение:

a = 21n -4 ; b =14n +3 ; d = НОД( a , b)  ; c =  3b - 2a = 17   ;   так как d -  

делитель a  и  b ,  то d -  делитель числа с , то есть делитель 17 , а

у этого числа только 2 делителя -  1    и  17 , значит  d = 1   или  d = 17 ,

например при n = 1  d = 17 ,  при  n = 2  d = 1

Answer 3

Чтобы найти все значения, которые может принимать НОД(21n - 4, 14n + 3) для натурального n, мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида.

Сначала выразим каждое из чисел через их НОД:

1. НОД(21n - 4, 14n + 3) = НОД(7(3n - 4) - 4, 7(2n + 3) - 3)

2. Затем мы можем применить алгоритм Евклида:

НОД(7(3n - 4) - 4, 7(2n + 3) - 3) = НОД(-4, -3)

Здесь мы видим, что знаки чисел не важны для нахождения НОД, поэтому НОД(-4, -3) равен НОД(4, 3).

Теперь найдем НОД(4, 3) с помощью алгоритма Евклида:

НОД(4, 3) = НОД(3, 4 % 3) = НОД(3, 1)

Теперь у нас есть НОД(3, 1), который равен 1.

Итак, для любого натурального числа n, НОД(21n - 4, 14n + 3) равен 1. То есть, значение НОД не зависит от конкретного значения n и всегда равно 1.