Question

Числитель правильной дроби на 5 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 3 11/14(три целых одинадцать четырнадцатых) Найди исходную дробь

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{\dfrac{2}{7}}$

Объяснение:

Обозначим исходную дробь t, тогда обратная ей дробь:

$\dfrac{1}{t}$

Сумма этих дробей:

$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{53}{14}$

$t>0$

Домножим обе части уравнения на 14t:

$14t^2+14=53t$

$14t^2-53t+14=0$

$D=53^2-4\cdot 14\cdot 14=2809-784=2025$

$\sqrt{D}=45$

$t=\dfrac{53\pm 45}{28}$

$t_1=\dfrac{98}{28}=\dfrac{7}{2}$

$t_2=\dfrac{8}{28}=\dfrac{2}{7}$

Так как по условию дробь правильная и числитель на 5 меньше знаменателя, то подходит только второй корень:

$\boldsymbol{\dfrac{2}{7}}$

Answer 2

Давайте обозначим исходную правильную дробь как x/y, где x - числитель, y - знаменатель. Условие задачи гласит:

1. x = y - 5 (Числитель правильной дроби на 5 меньше знаменателя).
2. x/y + y/x = 3 11/14.

Теперь давайте решим эту систему уравнений:

Сначала подставим значение x из первого уравнения во второе уравнение:

(y - 5)/y + y/(y - 5) = 3 11/14.

Теперь найдем общий знаменатель для дробей слева:

(y - 5)(y - 5)/y(y - 5) + y/y(y - 5) = 3 11/14.

Упростим дроби и сложим их:

(y^2 - 10y + 25)/(y^2 - 5y) + y/(y^2 - 5y) = 3 11/14.

Теперь у нас есть общий знаменатель, и мы можем сложить дроби слева:

(y^2 - 10y + 25 + y)/(y^2 - 5y) = 3 11/14.

y^2 - 9y + 25 = 3 11/14 * (y^2 - 5y).

Теперь умножим обе стороны на 14, чтобы избавиться от дробной части справа:

14(y^2 - 9y + 25) = 3(y^2 - 5y).

Раскроем скобки:

14y^2 - 126y + 350 = 3y^2 - 15y.

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

14y^2 - 3y^2 - 126y + 15y - 350 = 0.

11y^2 - 111y - 350 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться дискриминантом:

D = b^2 - 4ac,

где a = 11, b = -111, и c = -350.

D = (-111)^2 - 4 * 11 * (-350) = 12321 + 15400 = 27721.

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a).

y = (111 ± √27721) / (2 * 11).

y = (111 ± 167) / 22.

Теперь найдем два значения y:

1. y1 = (111 + 167) / 22 = 278 / 22 = 13.
2. y2 = (111 - 167) / 22 = -56 / 22 = -28/11.

Так как исходная дробь должна быть положительной и правильной, то y не может быть отрицательным и не может быть равным 1 (иначе числитель был бы равен 0). Таким образом, y = 13.

Теперь мы знаем значение y, и мы можем найти x с помощью первого уравнения:

x = y - 5 = 13 - 5 = 8.

Итак, исходная правильная дробь равна 8/13.