Question

Первісна від f(x) = 1/√(5х -1)

Answer 1

Ответ:

$F(x) = \int\limits \frac{1}{5 x- 1} dx = \frac{1}{5} \int\limits \frac{d(5x)}{5x - 1} = \\ = \frac{1}{5} \int\limits \frac{d(5x - 1)}{5x - 1} = \frac{1}{5} ln(5x - 1) + C$

Answer 2

Для знаходження первісної функції від f(x) = 1/√(5x - 1), спробуємо використовувати метод заміни.

Позначимо 5x - 1 як u: u = 5x - 1

Тоді ми маємо: du/dx = 5 (диференціюємо обидві сторони відносно x)

Тепер можемо виразити dx через du: dx = du/5

Також ми знаємо, що: √u = u^(1/2)

Тепер можемо виразити f(x) у вигляді u: f(x) = 1/√u

Тепер замінимо f(x) та dx у нашому інтегралі: ∫(1/√u) * (1/5) du

Тепер інтегруємо відносно u: (1/5) ∫(1/√u) du

∫(1/√u) du = ∫u^(-1/2) du

Зараз ми можемо застосувати правило степеневої функції для інтегрування: ∫u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, де n ≠ -1

У нашому випадку n = -1/2, тому: (1/5) ∫u^(-1/2) du = (1/5) * (u^(1/2)/(1/2)) + C

Зараз підставимо назад вираз для u: (1/5) * (5x - 1)^(1/2) + C

Тепер ми знайшли первісну від f(x) = 1/√(5x - 1): F(x) = (1/5) * (5x - 1)^(1/2) + C, де C - це константа інтегрування.