Question

Найти значения х при которых значения производной функции f(x)= (х+3) /(х2+3) положительны

Answer 1

Решение во вложении...

Answer 2

Чтобы найти значения x, при которых значения производной функции f(x) = (x + 3) / (x^2 + 3) положительны, мы должны найти интервалы, на которых производная положительна. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x. Используем правило дифференцирования частного и правило дифференцирования функции вида u/v:

f(x) = (x + 3) / (x^2 + 3)

f'(x) = [(x^2 + 3) * (d/dx)(x + 3) - (x + 3) * (d/dx)(x^2 + 3)] / (x^2 + 3)^2

f'(x) = [(x^2 + 3) * (1) - (x + 3) * (2x)] / (x^2 + 3)^2

f'(x) = [x^2 + 3 - 2x(x + 3)] / (x^2 + 3)^2

2. Упростим производную:

f'(x) = [x^2 + 3 - 2x^2 - 6x] / (x^2 + 3)^2

f'(x) = (-x^2 - 6x + 3) / (x^2 + 3)^2

3. Теперь мы хотим найти интервалы, на которых производная f'(x) положительна. Для этого решим неравенство:

f'(x) > 0

(-x^2 - 6x + 3) / (x^2 + 3)^2 > 0

4. Построим знаки производной f'(x) на числовой оси, находя корни числителя и знаменателя:

Числитель: -x^2 - 6x + 3 = 0

Решим это уравнение, используя квадратное уравнение:

x^2 + 6x - 3 = 0

Используем дискриминант:

D = 6^2 - 41(-3) = 36 + 12 = 48

x1,2 = (-6 ± √48) / (2*1) = (-6 ± 4√3) / 2 = -3 ± 2√3

Таким образом, у нас есть два корня числителя: x1 = -3 + 2√3 и x2 = -3 - 2√3.

Знаменатель всегда положителен, так как x^2 + 3 > 0 для любого x.

5. Теперь используем интервалы между корнями числителя и за пределами корней для определения знаков производной f'(x):

Интервал 1: (-∞, x1) Интервал 2: (x1, x2) Интервал 3: (x2, +∞)

Давайте рассмотрим каждый интервал:

Интервал 1: Выберем x = -4 (меньше x1). Подставим его в f'(x):

f'(-4) = (-(-4)^2 - 6(-4) + 3) / ((-4)^2 + 3)^2 = (-16 + 24 + 3) / (16 + 3)^2 = 11 / 361

Так как 11 / 361 положительно, на интервале (-∞, x1) производная f'(x) положительна.

Интервал 2: Выберем x = 0 (между x1 и x2). Подставим его в f'(x):

f'(0) = (-0^2 - 6(0) + 3) / (0^2 + 3)^2 = 3 / 9 = 1/3

Так как 1/3 положительно, на интервале (x1, x2) производная f'(x) положительна.

Интервал 3: Выберем x = 4 (больше x2). Подставим его в f'(x):

f'(4) = (-4^2 - 6(4) + 3) / (4^2 + 3)^2 = (-16 - 24 + 3) / (16 + 3)^2 = -37 / 361

Так как -37 / 361 отрицательно, на интервале (x2, +∞) производная f'(x) отрицательна.

Итак, значения x, при которых значения производной функции f(x) = (x + 3) / (x^2 + 3) положительны, находятся на интервалах (-∞, -3 + 2√3) и (-3 - 2√3, +∞).