Question

При каком наименьшем натуральном nn число n!=1⋅2⋅…⋅n делится на 2 600 000?​

Answer 1

Ответ: n=25

Объяснение:

Разложим  2600000 на множители

$2600000=26\cdot 10^5=13\cdot 2 \cdot (2\cdot 5)^5 =\\\\ =13\cdot 2\cdot 2^5\cdot 5^5 =13\cdot 2^6\cdot 5^5$

Смотрим на наибольшее простое число это 13

Из-за чего n как минимум равно 13

Далее воспользуемся формулой нахождения нулей

Для n!  

$\displaystyle \bigg[\frac{n}{5}\bigg] +\bigg[\frac{n}{25}\bigg] +\bigg[\frac{n}{125}\bigg] +\ldots$
([]- квадратные скобки выделяют целую часть числа числа  )

Продолжаем так делить до тех пор пока

$\bigg[\dfrac{n}{5^k}\bigg] =0$  

(k -количество раз которое мы делили n на 5 до тех пор пока не выполнилось такое равенство )

В нашем случае у числа  2600000 ; 5 нулей

Пусть тогда  n=25  (т.к  25:5= 5)

$\displaystyle \bigg[\frac{25}{5}\bigg] +\bigg[\frac{25}{25}\bigg]+\bigg[\frac{25}{125}\bigg]=5+1+0 =6$

Нам нужно пять нулей поэтому  возьмем n=24

$\displaystyle \bigg[\frac{24}{5}\bigg] +\bigg[\frac{24}{25}\bigg]+\bigg[\frac{24}{125}\bigg]=4+0+0=4$

Уже не хватает нулей

А их кол-во дальше будет только уменьшаться

Поэтому берем  n=25  

Answer 2

Чтобы определить, при каком наименьшем натуральном числе n! делится на 2 600 000, нужно разложить число 2 600 000 на простые множители и затем найти наименьшее n, при котором факториал n! содержит все эти простые множители.

Разложим число 2 600 000 на простые множители:

2 600 000 = 2^5 * 5^5 * 13

Теперь мы знаем, какие простые множители присутствуют в числе 2 600 000 и их степени. Чтобы число n! делилось на 2 600 000, факториал n! должен содержать как минимум столько же множителей 2, 5 и 13.

1. Множитель 2: Для множителя 2 нам понадобится, как минимум, 5 двоек из разложения 2 600 000.
2. Множитель 5: Для множителя 5 также понадобится, как минимум, 5 пятерок из разложения 2 600 000.
3. Множитель 13: Для множителя 13 нам нужна, как минимум, одна тринадцатка.

Теперь найдем наименьшее натуральное n, при котором выполняются все эти условия. Для этого мы можем взять максимум из степеней, которые нужны для каждого множителя:

n >= max(5, 5, 1) = 5

Итак, наименьшее натуральное число n, при котором n! делится на 2 600 000, равно 5.