Question

Решите уравнение x^4-2x^3-x-2=0

Answer 1

Ответ:

$x^{4} -2x^{3} -x-2=0\\x^{3}(x-2)-x-2=0\\(x-2)(x^{3}-1)\\\\x-2=0\\x=2\\\\x^{3}-1=0\\x=\sqrt[3]{1}=1$

Объяснение:

Линейное уравнение просто иксы в одну сторону, числа в другю.

Пример: x+3=0

Квадратное уравнение решается формулой (формула на картинке)

Общий вид: ax^2+bx+c=0

Кубическое уравнение решается формулой Кардано.

Общий вид: ax^3+bx^2+cx+d=0

А для уравнений выше кубической не существует общей формулы. Поэтому приходиться хитрить.

Сперва я вынес x^3 за скобку.

$x^{3}(x-2)-x-2=0$

После таким же макаром вынес x-2 за скобку.

$x^{3}(x-2)-x-2=0\\x^{3}(x-2)-1(x-2)=0\\(x-2)(x^{3}-1)=0$

А уравнение такого вида называются распадающимися. Они решаются лекго. Уравнение примет значение ноль если один из множителей ноль.

Либо x-2 ноль, либо x^3-1=0.

А их просто решили.

Answer 2

Для решения уравнения x^4 - 2x^3 - x - 2 = 0 мы можем воспользоваться методом подстановки и методом деления многочленов.

1. Сначала проведем подстановку y = x^2. Теперь у нас есть уравнение вида y^2 - 2y - x - 2 = 0.

2. Решим это уравнение относительно y. Имеем квадратное уравнение: y^2 - 2y - 2 - x = 0.

3. Используем квадратное уравнение, чтобы выразить y через x: y = (2 ± √(4 + 4x)) / 2 = 1 ± √(1 + x).

4. Теперь мы имеем два уравнения: a) y = 1 + √(1 + x) б) y = 1 - √(1 + x)

5. Сначала рассмотрим уравнение a) и б) по отдельности:

a) 1 + √(1 + x) = x^2 √(1 + x) = x^2 - 1 1 + x = (x^2 - 1)^2 1 + x = x^4 - 2x^2 + 1 x^4 - 2x^2 - x = 0

б) 1 - √(1 + x) = x^2 √(1 + x) = 1 - x^2 1 + x = (1 - x^2)^2 1 + x = 1 - 2x^2 + x^4 x^4 - 2x^2 + x = 0

6. Теперь у нас есть два квадратных уравнения: a) x^4 - 2x^2 - x = 0 б) x^4 - 2x^2 + x = 0

7. Решим каждое из них отдельно:

a) x^4 - 2x^2 - x = 0 Факторизуем: x(x^3 - 2x - 1) = 0 Одним из корней этого уравнения является x = 0. Для остальных корней используем численные методы или графический способ.

б) x^4 - 2x^2 + x = 0 Факторизуем: x(x^3 - 2x + 1) = 0 Одним из корней этого уравнения также является x = 0. Для остальных корней также используем численные методы или графический способ.

Заметим, что оба уравнения имеют корень x = 0. Для нахождения остальных корней можно воспользоваться численными методами или графическим способом.